Anneaux
Anneaux¶
Exercise 253
Soit \(A,B\) deux anneaux commutatifs, et \(f\) une application de \(A\) vers \(B\) qui préserve la somme, le carré et l’unité. On suppose de plus \(2\) régulier dans \(B\). Montrer que \(f\) est un morphisme d’anneau. Trouver un contre-exemple si on ne suppose plus que \(f\) préserve l’unité.
Solution to Exercise 253
Il suffit de montrer quer \(f\) préserve le produit. On prend \(x,y \in A\). En écrivant \(2xy = (x+y)^2-x^2-y^2\), on montre \(2f(x)f(y) = 2f(xy)\) et on utilise la régularité de \(2\). Pour le contre-exemple remarquons que \(f(1)\) est toujours idempotent. Il faut donc se placer dans un anneau qui admet d’autre idempotent que \(1\) et \(0\), par exemple dans un anneau produit (prendre par exemple \(\phi : A \rightarrow B\) un morphisme et \(f:A\rightarrow B^2\) défini par \(f(a) = (\phi(a), 0)\)).
Exercise 254
Soit \(A\) un anneau commutatif. Montrer que \(A\) possède un idempotent différent de \(0\) et \(1\) si et seulement si \(A\) est isomorphe à un anneau produit \(B\times C\) avec \(B\) et \(C\) des anneaux non nuls.
Solution to Exercise 254
Le sens retour est trivial. Considérons \(b\) différent de \(0\) et de \(1\) un idempotent de \(A\), et notons \(c = 1-b\). \(c\) est également idempotent non trivial. Notons \(B = Id(b)\) et \(C = Id(c)\) et considérons le morphisme
\(\phi\) est clairement un morphisme et est bijectif de réciproque la somme. On peut munir \(B\) et \(C\) d’une structure d’anneau. Pour \(B\) par exemple, il suffit de considérer que l’unité est \(b\).
Exercise 255
Soit \(A\) un anneau intègre fini. Montrer que \(A\) est un corps.
Solution to Exercise 255
Soit \(a \in A \setminus \{ 0 \}\). Le morphisme \(x \mapsto ax\) est injectif donc bijectif donc il existe un inverse \(b\) à droite de \(a\). De même il existe un inverse \(c\) à gauche de \(a\). Puis \(1 = ca = c (ab) a = (ca)(ba) = ba\) donc \(b=c\) et \(A\) est un corps.
Exercise 256
Soit \(A\) un anneau dont les seuls idéaux sont les idéaux triviaux. Montrer que \(A\) est un corps.
Solution to Exercise 256
Pour \(a \in A \setminus \{ 0 \}\) on a \(Id(a) = A\) donc \(1 \in Id(a)\) donc \(a\) est inversible à gauche, à droite et avec le même raisonnement que dans l’exercice Exercise 255, ce sont les mêmes inverses.
Exercise 257
Soit \(A\) un anneau commutatif dont tous les idéaux sont premiers. Montrer que \(A\) est un corps.
Solution to Exercise 257
Soit \(x \in A\). On regarde \(Id(x^2)\) qui contient \(x^2\) donc \(x\), donc on peut écrire \(x = x^2a\) pour un certain\(a\), puis \(x(1-xa)=0\). Il reste à remarquer que \(\{ 0 \}\) est premier, donc \(A\) est intègre. Ainsi \(1=ax\).
Exercise 258
Soit \(A\) un anneau intègre possèdant un nombre fini d’idéaux. Montrer que \(A\) un est un corps.
Solution to Exercise 258
Pour \(a \in A \setminus \{ 0 \}\) on regarde les idéaux \(I_n = a^nA\) qui forment une suite décroissante. Elle est donc stationnaire d’où l’existence de \(m \in \N\) tel que \(I_{m+1}=I_m\). De là il existe \(x \in A\) tel que \(a^{m+1}x = a^m\). Par intégrité, \(x\) est inverse à droite de \(a\). De même il existe un innverse à gauche et la conclusion suit.
Exercise 259
Soit \(I_n\) une suite croissante d’idéaux de \(\mathbb{K}[X]\) où \(\mathbb{K}\) est un corps. Montrer que \((I_n)\) est stationnaire.
Solution to Exercise 259
Facile quand on utilise le fait que \(I_n = Id(P_n)\) pour un certain \(P_n \in I_n\). La suite \(deg(P_n)\) est alors décroissante donc stationnaire.
Exercise 260
Soit \(A\) un anneau de Boole, i.e. \(\forall a \in A, \; a^2=a\). Montrer que \(A\) est commutatif.
Indication
Montrer que \(\forall a \in A, \; a = -a\).
Solution to Exercise 260
On a pour \(a \in A\), \((a+a) = (a+a)^2 = a^2+a^2+a^2+a^2=a+a+a+a\) donc \(a+a = 0\) soit \(a=-a\). Puis pour \(x,y \in A\), on regarde \((x+y)^2\). La conclusion suit facilement.
Exercise 261
Montrer que si \(I\) est maximal, alors \(I\) est premier.
Solution to Exercise 261
Soit \(x,y \in A\) tels que. On suppose \(x \notin I\). On regarde l’idéal \(J = I + Id(x)\) qui par maximalité de \(I\) est égal à \(A\). Il existe donc \(i \in I, u \in A\) tels que \(1 = i + ux\). De là \(y = iy + uxy\). Mais \(iy \in I\) et \(uxy \in I\) donc \(y \in I\).
Exercise 262
Soit \(A\) un anneau, \(u\) une unité de \(A\) et \(n\) un nilpotent qui commute avec \(u\). Montrer que \(u+n\) est encore une unité.
Soit \(a,b\) deux éléments de \(A\) tel que \(1-ab\) soit inversible. Montrer que \(1-ba\) est inversible.
Solution to Exercise 262
Intuition : \(\frac{1}{1-x} = \sum x^k\). Déjà remarquer que \(\frac{n}{u}\) est nilpotent, donc on peut se permettre de faire l’exercice pour simplement \(u=1\). Avec l’intuition, on montre alors facilement que \(\sum_{k \leq \mathcal{N}(n)} (-n)^k\) est bien l’inverse cherché (attention à montrer qu’il est inverse des deux côtés).
Pareil avec l’intuition, il faut regarder \(1 + b\frac{1}{1-ab}a\) et vérifier qu’il s’agit bien de l’inverse cherché (des deux côtés !).
Exercise 263
Soit \(A\) un anneau, et \(a \in A\).
Montrer que l’ensemble des inverses à gauche de \(a\) est en bijection avec \(Ker(\cdot a)\) (noyau de l’homothétie).
On suppose \(Ker(\cdot a)\) fini non vide. Soit \(\kappa\) dans \(Ker(\cdot a)\). Montrer qu’il existe \(m>0\), tel que \(\kappa = g^m \kappa\).
Indication
Considérer \((a^n\kappa)\)*.
Montrer que \(1-ag \in Ker(g\cdot) \cap Ker(\cdot a)\).
En déduire que \(a\) admet \(0\), \(1\) ou une infinité d’inverses à gauche.
Solution to Exercise 263
On fixe \(g_0\) inverse à gauche de \(a\) (traiter le cas sans inverse à gauche séparément). On a \(ga = 1 \Leftrightarrow ga = g_0a \Leftrightarrow (g-g_0)a = 0 \Leftrightarrow g \in g_0 + Ker(\cdot a)\).
\((a^n\kappa)\) n’est pas injective.
Simple vérification
Il suffit de montrer le résultat sur \(Ker(\cdot a)\). On le suppose non vide de taille fini. Alors avec les questions précédentes \(Ker(g\cdot) \cap Ker(\cdot a) = \{ 0 \}\) donc \(ag = 1\) donc \(g\) est l’unique inverse de \(a\).