Limites de fonctions, continuité¶

Exercise 139

La fonction $x \longmapsto \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor$ admet-elle une limite en $+ \infty$ ?

$\forall x \in \mathbb{N}, \; f(x) = 0$ et $f(x+\frac{1}{2}) = -1$ donc $f$ n’admet pas de telle limite.

Exercise 140

A-t-on $f$ continue sur un segment et jamais identiquement nulle sur un sous-intervalle de ce segment de $\Rightarrow$ $f$ s’annule un nombre fini de fois.

Solution to Exercise 140

Non avec $x\sin(\frac{1}{x})$

Exercise 141

Soit $f$, $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ telles que

\[\begin{equation*} \sup f = \sup g \end{equation*}\]

Montrer que le graphe de $f$ et le graphe de $g$ se coupent.

Solution to Exercise 141

Par continuité, le sup est atteint. On écrit $s = \sup f = \sup g = f(a) = f(b)$. On a alors $(f-g)(a) \geq 0$ et $(f-g)(b) \leq 0$ donc $f-g$ s’annule.

Exercise 142

Soit $f \; : \; \mathbb{R}^*_+ \longrightarrow \mathbb{R}$ continue telle que, pour tout $x>0$, la suite $(f(nx))_n$ est croissante. Montrer que $f$ est croissante.
Et si on abandonne l’hypothèse de la continuité de $f$ ?

Solution to Exercise 142

Raisonnons par l’absurde en se donnant $a<b$ tels que $f(a)>f(b)$. Par continuité de $f$, il existe $\varepsilon>0$ tel que $\varepsilon < b-a$ et $\forall x \in [b-\varepsilon, b+\varepsilon], f(a)>f(x)$. Choisissons $N \in \mathbb{N}$ suffisamment grand de sorte que $\frac{a}{N} < 2 \varepsilon$. Alors la suite $(n\frac{a}{N})_n$ contient $a$ et rencontre $[b-\varepsilon, b+\varepsilon]$ donc la suite $(f(n\frac{a}{N}))_n$ n’est pas croissante, ce qui contredit les hypothèses de départ.
Considérons la fonction $f \; : \; x \longmapsto \mathds{1}_{\mathbb{Q}} $. Pour tout $x$ réel, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $nx \in \mathbb{Q} \; \longleftrightarrow \; x \in \mathbb{Q}$ donc $\forall x, \, (f(nx))_n$ est constante donc croissante.

Exercise 143

Trouver les fonctions $f : \R \rightarrow \R$ continues en $1$ vérifiant $\forall x \in \R, \; f(x^2) = f(x)$.

Solution to Exercise 143

On a immédiatement $\forall n \in \N, \; f(x) = f(x^{2^{-n}})$. Or pour $x \neq 0$, $x^{2^{-n}} \underset{n \rightarrow +\infty}{ \rightarrow} 1$ donc $\forall x \neq 1$, $f(x) = f(1)$. Par continuité en 1. On vérifie immédiatement que les fonctions constantes sur $\R^*$ conviennent.

Exercise 144

Montrer que deux fonctions d’un intervalle ouvert, croissantes et dont la somme est continue sont continues.

Solution to Exercise 144

Soit $]a,b[$ l’intervalle de définition de $f$ et $g$ et soit $x \in ]a,b[$. On justifie facilement que $\underset{x^-}{\lim} f + \underset{x^-}{\lim} g = \underset{x^-}{\lim} (f+g) = (f+g)(x)$ par continuité de $f+g$. Or $\underset{x^-}{\lim} f \leq f(x)$ et $\underset{x^-}{\lim} g \leq g(x)$ donc ces deux inégalités sont des égalités. Ceci étant vrai pour tout $x$ et étant facilement montré de la même façon pour la limite en $x^+$, $f$ et $g$ sont continues.

Exercise 145

Soit $f \; : \; \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ $T$-périodique et continue. Montrer qu’il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(\mathbb{R}) = f([a,a+\frac{T}{2}])$.

Solution to Exercise 145

Soit $a,b \in [0,T]$ tels que $f$ atteigne son minimum et son maximum respectivement en $a$ et $b$. Quitte à remplacer $f$ par $-f$ on peut supposer $a<b$. Si $b-a\leq \frac{T}{2}$, $a$ convient. Sinon $b$ convient.

Exercise 146

Soit $f \; \: \; \mathbb{R}_+ \longrightarrow \mathbb{R}$ continue et surjective. Montrer que $f^{-1}(\{0\})$ est infini.

Solution to Exercise 146

Montrons que cet ensemble n’est pas majoré. Soit $A>0$, par continuité de $f$, $f[0,A]$ est borné, mettons par $M$. $f$ étant surjective, $M+1$ admet un antécédent, soit $x$, et $-M-1$ admet un antécédent, soit $y$. Nécessairement $x>A$ et $y>A$. Mais par continuité de $f$ et d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $z$ entre $x$ et $y$ tel que $f(z)=0$. Cela conclut.

Exercise 147

Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[0,1]$ telles que

\[\begin{equation*} \forall x \in [0,1], \qquad 0 < f(x) <g(x). \end{equation*}\]

Montrer qu’il existe $D>C>1$ tels que

\[\begin{equation*} \forall x \in [0,1], \qquad Cf(x) < g(x)<Df(x). \end{equation*}\]

Solution to Exercise 147

On regarde la fonction $\frac{g}{f}$ définie et continue sur le segment $[0,1]$, donc bornée. Notons $m$ son minimum, atteint en $a$ et $M$ son maximum. Par hypothèse, $\frac{g}{f}(a) > 1$ donc $m>1$. $\frac{1+m}{2}$ convient comme valeur de $C$. $M+1$ convient comme valeur de $D$.

Exercise 148

Déterminer les fonctions $f \; : \; \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ continues telles que $f(\mathbb{Q}) \subset \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $f(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}) \subset \mathbb{Q}$. ⚠️ nécessite des notions de dénombrabilité

Solution to Exercise 148

Montrons par l’absurde qu’il n’en existe pas en considérant $f$ convenable. Si $f(\mathbb{Q})$ contient deux éléments distincts, soit $a<b$, alors par continuité de $f$, $[a,b] \subset f(\mathbb{R})$ donc $[a,b] \setminus \mathbb{Q} \subset f(\mathbb{Q})$. Or $[a,b] \setminus \mathbb{Q}$ est indénombrable tandis que $ f(\mathbb{Q})$ est dénombrable. Non! Ainsi $f(\mathbb{Q})={a}$. Mais par densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ et par continuité de $f$, $f$ est alors constante égale à $a$, ce qui contredit les hypothèses de départ.

Exercise 149

Soit $f : \R \rightarrow \R$ une fonction continue périodique. Montrer que $f$ est uniformément continue.

Solution to Exercise 149

Notons $T$ la période de $f$. $f$ est uniformément continue sur $[0, 2T]$. Soit $\varepsilon > 0$ et $\alpha < \frac{T}{2}$ de l’uniforme continuité associé à $\varepsilon$ :

\[\begin{equation*} \forall x, y \in [0, 2T], |x-y| < \alpha \Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon \end{equation*}\]

Exercise 150

Soit $f$ et $g$ continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ qui commutent. Montrer qu’il existe $x$ tel que $f(x)=g(x)$

Solution to Exercise 150

Par l’absurde $f<g$. Soit $l$ un point fixe de $f$. Il vient $f(g(l))=g(f(l))=g(l)$ donc l’ensemble des points fixes de $f$ est stable par $g$. Considérons $s = \sup \{ l \; | \; f(l)=l\}$, qui existe car cet ensemble est non vide (résultat classique). Par continuité de $f$ on a $f(s)=s$. Puis $g(s) \leq s$ par maximalité de $s$. De là $g(s) \leq s = f(s) < g(s)$. Absurde !

Exercise 151

Soit $f : \R \rightarrow \R$ croissante et $D$ l’ensemble des points en lesquels $f$ n’est pas continue. Montrer que $D$ est au plus dénombrable.

Solution to Exercise 151

Soit $x \in D$. On a donc $f(x^+)-f(x^-)>0$. On peut donc trouver un rationnel $r_x \in ]f(x^-)-f(x^+)$. On définit ainsi une application injective (car strictement croissante) de $D$ dans $\Q$. Il suit que $D$ est au plus dénombrable.

Exercise 152

Soit $f$ une fonction de $\mathbb{C}$ dans $ \R$, continue en $0$ et en $1$, telle que $f(1)=1$ et $f(z_1z_2)=f(z_1)f(z_2)$.

Montrer que $f$ est strictement positive sur $\C^*$
Montrer qu’il un existe un réel $\alpha \geq 0$ tel que $f(x)=x^{\alpha}$ pour $x > 0$.
Montrer que $f(e^{it})=1$ pour tout réel $t$.
Conclure.

Solution to Exercise 152

La positivité est évidente. Soit $z \neq 0$. Supposons par l’absurde $f(z)=0$. Alors pour tout $n \in \N$, on a $f(z^{1/2^n})=0$, donc par continuité en $1$, $f(1)=0$, ce qui est absurde.
Soit $g = f_{\R_+^*}$, continue, strictement positive et multiplicative. On peut donc correctement définir $h = \ln(g)$ qui est continue et vérifie $h(ab)=h(a)+h(b)$. Le raisonnement suivant est alors classique : $\forall x>0$, $\forall n \in \N$, $h(x^n) = nh(x)$, puis $h(x^{p/q}) = \frac{p}{q}h(x)$. Par continuité de $h$ et densité des rationnels, cela s’étend à : pour tout $y>0$ $h(x^y) = yh(x)$ et ainsi $h = h(e)\ln$ !
Les racines $n$-ièmes de l’unité vérifient $f(z)^n=1$ donc $f(z)=1$. Par densité des racines de l’unité et continuité de $f$, c’est vrai pour tout complexe du cercle unité.
$f$ est donc de la forme $\rho e^{it} \mapsto \rho^\alpha$.

Exercise 153

Soit $f : \R \rightarrow \R$ uniformément continue et telle que $(f(n))_{n \in \N}$ diverge vers $+\infty$. Montrer que

\[\begin{equation*} f \underset{x \rightarrow +\infty}{\rightarrow} +\infty \end{equation*}\]

Solution to Exercise 153

Soit $\delta$ de l’uniforme continuité associé à 1. Soit $M$ tel que $M\delta > 1$. Il vient $\forall n \in \N, \forall n \leq x < n+1$,

\[\begin{equation*} f(x) \geq f(n)-M \end{equation*}\]

D’où le résultat.

Exercise 154

Soit $E,F$ deux espaces vectoriels normés et $f : E \rightarrow F$. On note $Gr(f) = \{(x,y) \in E \times F \; | \; f(x) = y \}$.

Montrer que si $f$ est continue, alors $Gr(f)$ est fermé dans $E \times F$.
Montrer la réciproque lorsque $f(E)$ est inclus dans un compact de $F$.
Trouver un contre-exemple si $f(E)$ n’est pas inclus dans un compact.

Solution to Exercise 154

Soit $(x_n, y_n)$ une suite de $Gr(f)$ qui converge vers $(x,y) \in E\times F$. Alors $x_n \rightarrow x$ donc par contuinité de $f$, $y_n = f(x_n) \rightarrow f(x)$, puis par unicité de la limité, $y=f(x)$ et finalement $(x,y) \in Gr(f)$.
Soit $x_n$ une suite de $E$ qui converge vers $x\in E$. On pose $y_n = f(x_n)$. Soit $y$ une valeur d’adhérence de $y_n$, associée à une extractrice $\phi$. Alors $(x_{\phi(n)}, y_{\phi(n)})$ est une suite d e$Gr(f)$ qui converge vers $(x,y)$. $Gr(f)$ étant fermé, on a $(x,y) \in Gr(f)$ i.e. $y=f(x)$. Ainsi $y_n$ admet au plus une seule valeur d’adhérence. $f(E)$ étant compacte, $y_n$ en admet au moins une. Finalement $y_n$ admet une et une seule valeur d’adhérence donc converge, vers $f(x)$.
Dans $\R$,

\[\begin{equation*} x \mapsto \begin{cases} \frac{1}{x} \quad \textrm{si $x \neq 0$} \\ $0$ \quad \textrm{sinon} \end{cases} \end{equation*}\]

fournit un contre exemple.

Exercise 155

Soit $f : \R \rightarrow \R$ uniformément continue, bornée, et $g : \R \rightarrow \R$ continue. Montrer que $g \circ f$ est uniformément continue

Solution to Exercise 155

Soit $\varepsilon > 0$. $f(\R)$ est borné inclus dans un segment, mettons $S$. Par Heine, $g$ est uniformément continue sur $S$. Soit $\gamma$ de l’uniforme continuité de $g_{|S}$ associé à $\varepsilon$. Soit $\delta$ de l’uniforme continuité de $f$ associé $\gamma$. Alors

\[\begin{equation*} |x-y| \leq \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| \leq \gamma \Rightarrow |g(f(x)) - g(f(y))| \leq \varepsilon \end{equation*}\]

ce qui conclut.

Exercise 156 ({$f([a,b]) \subset g([a,b])$})

Soit $f,g : [a,b] \rightarrow \R$ continues. On suppose $\forall x \in [a,b], \exists y \in [a,b], f(x) = g(y)$. Montrer qu’il existe $x\in [a,b]$ tel que $f(x) = g(x)$

Solution to Exercise 156 ({$f([a,b]) \subset g([a,b])$})

Par l’absurde $f < g$. $f$ étant continue, il existe $x$ tel que $f(x) = \inf f$. Puis il existe donc $y$ tel que $g(y) = \inf f$. Alors $f(y) < \inf f$ ce qui est impossible.

Exercise 157 ({Cordes de longueur $\frac{1}{n}$})

Soit $f : [0,1] \rightarrow \R$ continue telle que $f(0) = f(1) = 0$.

Montrer qu’il existe $x \in [0,\frac{1}{2}]$ tel que $f(x) = f(x + \frac{1}{2}$.
Pour $n \geq 2$, montrer qu’il existe $x \in [0,1- \frac{1}{n}]$ tel que $f(x) = f(x + \frac{1}{n}$.
Trouver une fonction $f$ telle que $\forall x \in [0,1- \frac{2}{5}]$, $f(x) \neq f(x + \frac{2}{5})$.
Sans corection ! Montrer qu’il existe $a > 0$, tel que : $\forall b \in ]0,a]$, $\exists x \in [0, 1-b]$ tel que $f(x) = f(x+b)$.

Solution to Exercise 157 ({Cordes de longueur $\frac{1}{n}$})

Soit $g = f(\cdot) - f (\frac{1}{2} + \cdot)$. On a $g(0) + g(\frac{1}{2}) = 0$ donc $g$ touche $0$.
Soit $g = f(\cdot) - f (\frac{1}{n} + \cdot)$. On a $g(0) + g(\frac{1}{n}) + \ldots + g(1 - \frac{1}{n}) = 0$ donc $g$ touche $0$.
Soit $\phi$ une fonction périodique de plus petite période $T = \frac{2}{5}$, par exemple $\phi(x) = \sin^2(\frac{2\pi x}{5})$. On va ajouter la bonne pente à $\phi$ pour avoir l’égalité en $0$ et $1$ : $f(x) = \phi(x) - x\phi(1)$. Alors écrivons

\[\begin{align*} f(x) = f(x+T) &\Leftrightarrow T\phi(1) = 0 \\ &\Leftrightarrow \phi(1) = 0 \\ &\Leftrightarrow \frac{1}{T} \in N \end{align*}\]

Ainsi avec n’importe quelle période autre que $\frac{1}{n}$, on peut trouver des contre-exemples (et en l’occurence avec $T = \frac{2}{5}$).

Exercise 158

Soit $E$ un espace de Banach (espace vectoriel normé complet), et $f : E \rightarrow E$ une fonction $k$-lipschitzienne avec $k < 1$. On choisit $u_0 \in E$ quelconque, et on définit $u_{n+1} = f(u_n)$.

Montrer que $u$ converge vers une limite $l$.
Montrer que $l$ est le seul point fixe de $f$.

Solution to Exercise 158

Par récurrence $||u_{n+1} - u_{n}|| \leq k^n ||u_1 - u_0||$. Donc $u$ est de Cauchy, donc converge.
Pour l’unicité, soit $l'$ tel que $f(l') = l'$. Alors $||l'-l|| = ||f(l') - f(l)|| \leq k ||l' -l||$ donc $||l' - l || = 0$. Pour le fait que $l$ est un point fixe, $f$ est lipschitzienne donc continue, donc $f(u_n) \rightarrow f(l)$. Mais $f(u_n) \rightarrow l$ donc $l = f(l)$.

Exercise 159

Soit $C$ un compact convexe d’un espace vectoriel normé $E$. Soit $f : C \rightarrow C$ 1-lipschitzienne. Montrer que $f$ admet un point fixe. On pourra introduire $f_n : x \mapsto \frac{1}{n}a + (1-\frac{1}{n})f(x)$ pour un $a \in C$ fixé.

Solution to Exercise 159

$f_n$ est bien définie de $C$ dans $C$ car $C$ est convexe, et est $1-\frac{1}{n}$ lipschitzienne, donc admet un point fixe $l_n$. La suite $l_n$ est à valeur dans le compact $C$ donc admet une valeur d’adhérence $l$, associée à une extractrice $\phi$. On remarque que la suite $f_{\phi(n)}(l) = \frac{1}{\phi(n)}a + (1- \frac{1}{\phi(n)})f(l)$ converge vers $f(l)$. Puis

\[\begin{align*} ||f(l) - l || &\leq ||f(l) - f_{\phi(n)}(l)|| + ||f_{\phi(n)}(l) - f_{\phi(n)}(l_{\phi(n)})|| + ||f_{\phi(n)}(l_{\phi(n)}) - l_{\phi(n)}|| + ||l_{\phi(n)} - l|| \\ &\leq ||f(l) - f_{\phi(n)}(l)|| + (1-\frac{1}{\phi(n)})||l_{\phi(n)} - l|| + 0 +||l_{\phi(n)} - l|| \longrightarrow 0 \end{align*}\]

D’où $f(l) = l$.

Exercise 160

Site de Michel Quercia, Espaces vectoriels normés.

(exercice 87) Soient $E,F$ deux espaces vectoriel normés et $f:E \rightarrow F$ continue. Soit $(K_n)$ une suite décroissante de compacts de $E$. Montrer que $f(\bigcap_n K_n) = \bigcap_n f(K_n)$.
(exercice 95)
(exercice 98 avec espace de Banach plutôt que de dimension finie, puis 101)
(exercice 102)
(exercice 109)
Montrer que la norme est une fonction continue.

Site de Michel Quercia. Continuité.

(exercice 30)
(exercice 21)
(exercice 23)
(exercice 17)
(exercice 16)

Solution to Exercise 160

Prendre $k_i \in K_i$ tels que $f(k_i) = x$, remarquer quepour chaque $K_i$ on peut extraire une sous-suite convergente dans $K_i$ et faire l’habituelle composée de dénombrables extractrices.
Penser au fait que $||f(\cdot)||$ est continue. Pour la réciproque penser à la caractérisation des applications linéaires continues.
La norme est 1-lipschitzienne.

Exercices de kholles

Limites de fonctions, continuité

Limites de fonctions, continuité¶