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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Suites numériques

Exercise 96

Soit \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \((u_n)_n\) la suite définie par :

\[\begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N}, \; \; u_{n+2} - 2 \cos(\alpha )u_{n+1} + u_n = 0 \end{equation*}\]

Donner l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Solution to Exercise 96

Classiquement on regarde le polynôme \(P(x)=X^2-2 \cos ( \alpha ) X + 1 = (X-e^{i\alpha})(X-e^{-i\alpha})\). Il vient \(u_n = A e^{in\alpha} + B e^{-in\alpha}\) où \(A\) et \(B\) vérifient \(A+B=u_0\) et \(A e^{i\alpha} + B e^{-i\alpha} = u_1\) ce qui fournit sans difficulté les valeurs de \(A\) et \(B\).

Exercise 97

Soit \((u_n)_n\) une suite définie par \(u_0=1\) et

\[\begin{equation*} \forall n \in \mathbb{N}, \; u_{n+1} = (\prod \limits_{k=0}^n u_k) +2 \end{equation*}\]

Déterminer l’expression, pour \(n \geq 1\), de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Solution to Exercise 97

Soit \(n\geq1\). On réécrit la relation de récurrence \(u_{n+1} = u_n(\prod \limits_{k=0}^{n-1} u_k) + 2 = (u_n-2)u_n +2\). On introduit alors \(v_n =u_n-1\) qui vérifie la relation de récurrence \(v_{n+1}=v_n^2\). Cela amène \(\forall n \geq 1, \; u_n = 2^{2^{n-1}}+1\).

Exercise 98

Voir énoncé 5.8 du poly de Mansuy.

Solution to Exercise 98

La suite \(v_n = u_n+1\) vérifie la relation de récurrence \(v_{n+1} = 2v_n + 3^n\). La suite \((3_n)_{n\in \mathbb{N}}\) vérifie la même relation de récurrence. Ainsi \(w_n = v_n - 3^n\) vérifie \(w_{n+1} = 2w_n\). On trouve alors facilement une expression de \(u_n\).

Exercise 99

Considérons la suite \((u_n)_{n\geq1}\), dont les valeurs sont successivement 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, \(\ldots\). Donner une expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Solution to Exercise 99

La formule \(\sum \limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}\) amène que \(\forall p \in ] \frac{n(n-1)}{2}, \; \frac{n(n+1)}{2}], \; u_p = n\). La limite a lieu lorsque \(2p = n(n+1)\) soit \(n=\frac{-1+\sqrt{1+8p}}{2}\). Ainsi \(u_n = \lceil \frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2} \rceil\).

Exercise 100

Soit \(u_n=\sum \limits_{k=1}^n \lfloor \frac{n}{k} \rfloor\). Trouver les entiers \(n \in \mathbb{N}\) pour lesquels \(u_n\) est pair.

Solution to Exercise 100

On se propose d’établir une relation de récurrence sur \(u_n\). On regarde

\[\begin{equation*} u_{n+1} - u_n = 1 + \sum \limits_{k=1}^n [\frac{n+1}{k}] - [\frac{n}{k}] = Card \{ d, d | n+1 \} \end{equation*}\]

Il s’agit donc de déterminer la parité du nombre de diviseurs de \(n\). On se convainc facilement en associant deux par deux les diviseurs que ce nombre est toujours pairs à moins que \(n\) ne soit un carré. Ainsi les \(n\) convenables, sachant que 1 ne l’est pas, sont \(4, \; 5, \; \ldots, \; 8, \; 16, \; \ldots, \; 24, \; \ldots\). Autrement dit, \(\mathbb{S} = \{ n, \; \exists p \in \mathbb{N}, \; (2p)^2 \leq n < (2p+1)^2 \}\).

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