Séries numériques
Séries numériques¶
Exercise 128
Soit \((u_n)\) telle que \(u_{n+1} = o(u_n)\). Montrer que \(\sum_{k \geq n} u_k \sim u_n\).
Solution to Exercise 128
On se place à \(n\) suffisamment grand pour que \(|u_{n+1}| \leq \varepsilon |u_n|\). Alors \(\sum_{k \geq n+1} |u_k| \leq \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon} |u_n|\) et de là \(\sum_{k \geq n+1} u_k = o(u_n)\). Le résultat suit naturellement.
Exercise 129
Soit \((u_n)\) une suite de réels positifs et
Montrer que les séries de terme général \(u_n\) et \(v_n\) sont de même nature.
Solution to Exercise 129
On a \(0 \leq v_n \leq u_n\) donc \(\sum u_b\) converge \( \Rightarrow \sum v_n\) converge. On suppose que \(v_n\) converge. Alors \(v_n \rightarrow 0\) donc \(u_n \rightarrow 0\) et \( v_n = u_n (1 + o(1)) = u_n + o(u_n)\). Supposons par l’absurde que \(u_n\) diverge, alors \(\sum o(u_n) = o(\sum u_n)\) donc \(\sum v_n \sim \sum u_n\) diverge. Non!
Exercise 130
Soit \((u_n)\) une suite réelle telle que la série de terme général \((u_n)\) diverge. Montrer qu’il existe \((v_n)\) telle que \(v_n = o(u_n)\) et telle que la série de terme général \((v_n)\) diverge.
Solution to Exercise 130
Raisonner sur les sommes partielles (par exemple prendre \(V_n = \ln(U_n)\)).
Exercise 131
Montrer qu’il existe \((u_n) \in \R^{\N}\) telle que pour tout \(\lambda \in \overline{\R}\), il existe \(\phi\) un réordonnement de \(\N\) (bijection de \(\N\) dans \(\N\)) tel que \(\sum \limits_{n=1}^{+ \infty} u_{\phi(n)} = \lambda\).
Solution to Exercise 131
Prendre \(u_n = \frac{(-1)^n}{n}\).
Exercise 132
Soit \( \sum u_n\) une série réelle convergente mais pas absolument convergente. Montrer que pour tout \(\lambda \in \bar{\R}\), il existe \(\sigma\) une bijection de \(\N\) dans \(\N\) telle que \(\sum_{\sigma(n)} \rightarrow \lambda\).
Exercise 133
Soit \(\sigma\) une permutation de \(\N\) dans \(\N\). Montrer que la série de terme général \((\frac{\sigma(n)}{n^2})\) diverge.
Solution to Exercise 133
\(S_{2n}-S_n\) est minoré par \(\frac{1}{8}\) (majorer grossièrement \(\frac{1}{k^2}\)) donc le critère de Cauchy n’est pas vérifié.
Exercise 134
Soit \((u_n)\) une suite réelle positive telle que la série de terme général \(u_n\) diverge. Soit \(\alpha > 0\). Étudier la nature de la série \(\frac{u_n}{U_n^{\alpha}}\).
Solution to Exercise 134
Exercise 135
Soit \(u_n\) une suite décroissante vers \(0\) telle que \(\sum u_n\) converge. Montrer que \(u_n = o(\frac{1}{n})\).
Exhiber une suite réelle positive \(u_n\) telle que la série de terme général \(u_n\) converge mais telle que \(nu_n\) ne tende pas vers \(0\)
Solution to Exercise 135
On a \(0 < (2n)u_{2n} \leq 2 \sum_{k = n+1}^{2n} u_k = 2(S_{2n}-S_n) \rightarrow 0\). De là \(2nu_{2n} \rightarrow 0\) et il vient facilement \(u_n = o(u_n)\). Puis prendre \(u_n = \frac{1}{n}\) si \(n\) est un carré, \(0\) sinon.
Exercise 136
Soit \(\frac{p_n}{q_n}\) convergeant vers un irrationnel. Montrer que \(p_n \rightarrow +\infty\) et \(q_n \rightarrow +\infty\).
Exercise 137
Soit \((z_n)\) une suite de complexe de partie réelle positive, et telle que les séries de terme général \(z_n\) et \(z_n^2\) (respectivement) convergent. Montrer que \(\sum |z_n|^2\) converge. Et si on abandonne l’hypothèse partie réelle positive ?
Exercise 138
Équivalent de \(\ln(n!)\).
Déterminer \(\lim_{a\to+\infty}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a}{n^2+a^2}\).
Série de Bertrand un cran plus loin \(\frac{1}{n \ln(n) \ln(\ln(n))^{\alpha}}\)
\(u_n\) et \(v_n\) tg de séries réelles convergentes, \(w_n\) telle que \(u_n \leq w_n \leq v_n\). Montrer que \(w_n\) tg d’une série convergente (regarder d’abord \(w_n - u_n\)).
Condition sur \(a\), \(b\) et \(c\) pour que la série de terme général \(u_n = a\sqrt{n} + b \sqrt{n-1} + c\sqrt{n-2}\) converge. Calculer sa limite dans ce cas.
(voir Marc Sage) Soit \(\phi : \N \rightarrow \N\) injective, et \(\mu_n\) le ppcm de \(\phi(1)\), \(\phi(2)\), \ldots \(\phi(n)\). Montrer que la série de terme général \(\frac{1}{\mu_n}\) converge.
Soit \(z_n\) une suite de complexe espacés d’au moins 1 deux à deux. Trouver \(\alpha\) tel que la série de terme général \(\frac{1}{n^\alpha z_n}\) converge absolument.
Avec les sommes de Riemann : calculer la limite de la série de terme général \((-1)^n\frac{\ln(n)}{n}\)
Soit \(f : \R^*_+ \rightarrow \R^*_+\) de classe \(C^1\) et telle que \(\frac{f'}{f}\) tende vers \(-\infty\) en \(+\infty\). Montrer ue la série de terme général \(f(n)\) converge et calculer un équivalent de \(R_n\) le reste.
En utilisant Taylor-Lagrange sur \(x \mapsto \ln(1+x)\), calculer la limite de la série de terme général \(\frac{(-1)^n}{n}\) (c’est \(\ln(2)\)). Retrouver le même résultat en remarquant que \(\frac{1}{k} = \int_0^1 t^{k-1}dt\).
Calculer \(\sum_{0}^{+\infty}kx^k\)