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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Suites de fonctions

Exercise 390

Déterminer les \(\alpha\) tels que \(f_n(x)= n^{\alpha}\cos^n(x)\sin(x)\) converge uniformément sur \([0;\frac{\pi}{2}]\).

Solution to Exercise 390

Il y a convergence en \(0\) vers \(0\). Puis \(\forall x \in ]0;\frac{\pi}{2}], \;|\cos(x)| < 1\) donc \(f_n(x) \rightarrow 0\). Bref il y a CVS vers \(0\). Puis on calcule

\[\begin{align*} f'_n(x) &= n^{\alpha}(-n\cos^{n-1}(x)\sin^2(x)+\cos^{n+1}(x)) \\ &= n^{\alpha}\cos^{n-1}(x)(-n+(n+1)\cos^2(x))\\ \end{align*}\]

s’annule en \(x_n = \arctan{\frac{1}{\sqrt{n}}}\). où \(f_n\) est maximum. En inégrant le développement limité du DL de \(\arctan\) on trouve

\[\begin{equation*} \arctan(x) \underset{0}{=} x + O(x^3) \end{equation*}\]

D’où

\[\begin{align*} f_n(x_n) &= \left (\frac{1}{\sqrt{n}}+O(\frac{1}{n^{3/2}}) \right )(1-\frac{x_n^2}{2}+O(x_n^4))^nn^{\alpha} \\ &\sim \frac{e^{-1/2}}{\sqrt{n}}n^{\alpha} \end{align*}\]

Et ainsi \(\sup f_n \rightarrow 0\) si et seulement si \(\alpha < \frac{1}{2}\).

Exercise 391 (Une limite classique)

Soit \(f_n(x) = \frac{x^n}{n!}e^{-x}\) sur \(\R^+\). Déterminer le mode de convergence de \(f\).

Solution to Exercise 391 (Une limite classique)

Après dérivation, \(f_n\) admet son maximum en \(n\) et \(f_n(n) = \frac{n^n}{n!}e^{-n}\). Avec Stirling \(f_n(n)\rightarrow 0 = f_{+\infty}\). Il y a bien CVU.

Exercise 392

Soit \(f_n\) une famille de fonction de \(X\) un ensemble vers \(\R\), toutes bornées et telles que \((f_n)\) converge uniformément vers \(f:X\rightarrow \R\).

1. Montrer que \(f\) est bornée.

2. Montrer que \(\sup_X f_n \rightarrow \sup_X f\).

Solution to Exercise 392

1. Immédiat

2. On prend \(n_{\varepsilon}\) tel que \(\forall n \geq n_{\varepsilon}, \; ||f-f_n||_{\infty} < \varepsilon\).

Exercise 393

Déterminer l’adhérence de \(\mathcal{C}_C(\R,\C)\) fonctions continues à support compact dans \((\mathcal{C}(\R,\C), ||.||_{\infty}\) espace des fonctions continues. Autrement dit trouver l’ensemble des fonctions continues \(f\) telle qu’il existe une suite \((f_n)\) stationnaires à \(0\) en \(\infty\) qui converge uniformément vers \(f\).

Solution to Exercise 393

On montre que ce sont les fonctions nulles en \(\infty\).

Si \((f_n) \in (\mathcal{C}_C(\R,\C))^{\N}\) CVU vers \(f\), alors en choisissant \(f_n\) proche de \(f\) à \(\varepsilon\) près, il vient que \(|f|\) est plus petite que \(\varepsilon\) en \(\infty\).

Si \(f \rightarrow 0\) en \(\infty\), alors on prend \(f_n\) égale à \(f\) sur \([-n,n]\) puis qui “descend être stationnaire en \(0\)”. Il vient \(||f-f_n||< 2 \underset{|x|\geq n}{\sup} |f|\) et le membre gauche tend vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

\end{document}

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