Polynômes
Polynômes¶
Exercise 264
Montrer que les fonctions trigonométriques ne sont pas des polynômes
Solution to Exercise 264
On dérive pour \(\cos\) et \(\sin\), et on regarde l’équation \(\tan^2 = 1 + \tan'\) pour \(\tan\).
Exercise 265
Montrer que le polynôme \(\sum_{k=0}^{2n} \frac{X^k}{k!}\) n’admet pas de racine réelle.
Solution to Exercise 265
\(P\) tend vers \(+\infty\) en \(\pm \infty\) donc \(P\) atteint son \(\inf\), mettons en \(a\). On a aussi \(P = P' + \frac{X^2n}{(2n)!}\) d’où \(P(a) = \frac{a^{2n}}{(2n!)}\) qui est strictement positif, sauf si \(a=0\), cas que l’on peut rejeter à la main. Remarque : l’idée de dériver est naturelle par analogie avec l’exponentielle.
Exercise 266
Soit \(P\) un polynôme de \(\C[X]\). Déterminer \(P(\C)\)
Solution to Exercise 266
Si \(deg(P) > 0\), le polynôme \(P - z\) admet une racine complexe pour tout \(z \in \C\) donc \(P(\C) = \C\). Sinon, \(P(\C) = P(0)\).
Exercise 267
Résoudre dans \(\C[X]\) l’équation \(P(X^2)=P(X)P(X+1)\).
Solution to Exercise 267
On procède par analyse synthèse. On a \(r\) racine implique \(r^2\) racine et \((r-1)^2\) racine. On suppose \(P\) non nul. Cela amène à trouver les \(E\) ensembles finis stables par \(x \mapsto x^2\) et par \(x \mapsto (x-1)^2\). Soit un tel \(E\). On a \(\forall z \in E, \; |z| \in \{0,1\}\). Puis en regardant \(|z-1|^2\) pour \(z\neq 0, z \neq 1\), on montre que \(E \subset \{ 0, 1, -j, -\bar{j} \}\). La stabilité par carré impose \(E \subset \{ 0, 1\}\). À partir de là la synthèse est facile et on trouve \(0, 1, X^n(X-1)^n\) pour \(n \in \N\).
Exercise 268 (Gauss-Lucas)
Montrer que les racines de la dérivée d’un polynôme sont comprises dans l’enveloppe convexe des racines de ce polynôme. Conséquence : Soit \(P\) polynôme dont un des coefficients est nuls. Montrer que \(0\) appartient à l’enveloppe convexe des racines de \(P\).
Solution to Exercise 268 (Gauss-Lucas)
On dérive \(\log(P)\). Pour la conséquence, \(0\) est racine de la dérivée \(k-ième\) dont les racines sont incluses dans l’enveloppe convexe de \(P\) par Gauss-Lucas itéré.
Exercise 269 (Régionnement)
Soit \(P = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + \ldots + a_0\). Montrer que
Conséquence : Soit \((P_k) \in \C_n[X]\) une suite de polynômes unitaires à coefficients bornés par \(M\). Montrer qu’il existe une extractrice \(\phi\) telle que \(Z(P_{\phi(k)})\) converge.
Solution to Exercise 269 (Régionnement)
On pose \(\mu = \underset{0 \leq i \leq n-1 }{\max} |a_i|\). Soit \(z \in Z(P)\). On a \(|z|^n \leq \sum_{k=0}^{n-1} |a_k||z_k| \leq \mu \frac{|z|^n-1}{|z|-1}\) si \(|z| \neq 1\). Supposons \(|z| > 1\) Il vient
Et de là le résultat. La conséquence est immédiate.
Exercise 270
Soit \(P \in \Q[X]\) tel que \(1+\sqrt{2}\) soit une racine de \(P\). Calculer \(P(1-\sqrt{2})\).
Solution to Exercise 270
On regarde le polynôme minimal de l’idéal des polynôme qui s’annulent en \(1+\sqrt{2}\).
Exercise 271
Soit \(F\) une partie fermée de \(\C\) et \(P_k = X^n + a_{n-1,k}X^{n-1} + \ldots + a_{0,k}\) une suite de polynôme tels que
On note \(P = \sum_{l=0}^na_lX^l\). Montrer que \(Z(P) \subset F\).
Solution to Exercise 271
Soit \(a \in \C \setminus F\). On a pour tout \(k\),
À la limite, \(|P(a)| \geq d(a, F)^n > 0\).
Exercise 272
Montrer que tout polynôme positif sur \(\R\) est somme de deux carrés.
Solution to Exercise 272
D’abord on remarque que l’ensemble des polynômes sommes de deux carrés est stable par produit (cf exercice de complexes). Puis si \(P = X^2 + 2aX +b\) est irréductible, on a \(a^2-b < 0\). De là \(P = (X+a)^2+(\sqrt{b-a^2})^2\). Puis si \(P\) admet \(x\) pour racine, \(P \sim_{x} \lambda(X-x)^{\alpha}\). Il vient \(\lambda > 0\) et \(\alpha\) pair. Cela conclut.
Exercise 273
Déterminer les polynômes \(P\) tels que \(P'\) divise \(P\).
Solution to Exercise 273
Ok avec d’Alembert Gauss. Sinon on explicite la relation \(P=QP'\) de divisibilité et on dérive \(k\) fois pour \(k\) plus petit que \(n\) et on évalue en la racine de \(Q\). Ou encore avec les fractions rationnelles et en regardant \(\frac{P'}{P}\), \(P\) a une seule racine.
Exercise 274
Soit P un polynôme tel que les restes de la division euclidienne de \(P\) par \((X - 1)\) , \((X - 2)\) et \((X - 3)\) soient \(3\), \(7\) et \(13\) respectivement. Déterminer le reste de la division euclidienne de \(P\) par \((X-1)(X-2)(X-3)\) .
Solution to Exercise 274
Ce reste \(R\) est de degré au plus \(2\) et coïncide avec l’interpolateur de Lagrange associé à \((1,3), (2,7), (3,13)\) en \(3\) points, donc ces deux polynômes sont égaux.
Exercise 275
Soit \(P \in \C[X]\), on suppose que pour tout \(x \in \R\), \(P(x) \in \R\). Montrer que \(P \in \R[X]\).
Solution to Exercise 275
Par exemple avec un polynôme interpolateur de Lagrange sur \(deg(P)+1\) points réels. Ou sinon avec le polynôme \(\bar{P}\)
Exercise 276
Déterminer \(m>0\) tel que le polynôme \(X^4-(3m+2)X^2+m^2\) ait ses racines en progression arithmétique.
Solution to Exercise 276
\(P\) est pair donc ses racines sont réparties autour de \(0\). Ainsi il existe \(a>0\) tel que \(-3a, -a, a, 3a\) sont les racines de \(P\). Ainsi \(P=(X^2-9a^2)(X^2-a^2) = X^4 - 10a^2 +9a^4\). On a donc
De là \(m = 3a^2\) puis \(a=\sqrt{2}\), ce qui correspond à \(m=6\).
Exercise 277
Résoudre l’équation \(4P=(X-1)P'+P''\).
Solution to Exercise 277
Soi t\(n\) le degré de \(P\). On écrit \(P = a_nX^n+Q\) avec \(deg(Q<n)\). En réinjectant dans l’équation on a
avec \(deg(R)<n\), d’où \(n=4\). Ensuite après dérivations successives de l’équation et évaluation en \(1\), on obtient \(4P(1)=P''(1)\), \(3P'(1)=P^{(3)}(1)\), \(2P''(1)=P^{(4)}(1)\) et \(P^{(3)}(1)=P^{(5)}(1)=0\), d’où \(P'(1)=0\). On effectue un développement de Taylor en \(1\) pour obtenir
On vérifie que tous les polynômes de cette forme conviennent.
Exercise 278
Soit \(P \in \R[X]\) unitaire. Montrer que \(P\) est scindé dans \(\R[X]\) si et seulement si
Solution to Exercise 278
\((\Rightarrow) \;\) On écrit \(P = \prod(X-a_i)\), avec \(a_i \in \R\). On évalue en \(z = x+iy\) :
\((\Leftarrow) \;\) Si \(P\) admet une racine non réelle, on a une contradiction en évaluant en cette racine. On conclut avec D’Alembert-Gauss.
Exercise 279
Soit \(P\) un polynôme de degré \(n\) tel que \(\forall k \in \{ 0, 1, \ldots, n\}, \; P(k)=\frac{k}{k+1}\). Calculer \(P(n+1)\).
Solution to Exercise 279
On regarde \(Q = (X+1)P-X\), de degré \(n+1\) et nul en \(0,1,\ldots, n\). Il vient \(Q = a\prod_{i=0}^n(X-i)\). Mais \(Q(-1)=1\) donc \(a=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\). De là \(P(n+1) = \frac{n+1+Q(n+1)}{n+2} = \frac{n+1+(-1)^{n+1}}{n+2}\)
Exercise 280
Déterminer les \(P\) tels que
Solution to Exercise 280
En remplaçant \(t\) par \(-t\), il vient que \(P(X)\) et \((P-X)\) coïncident sur une infinité de valeurs, donc \(P\) est pair. Ainsi \(P\) s’écrit comme un polynômr en \(X^2\), notons le \(Q\), qui vérifie
donc \(Q(X)+Q(1-X)=1\). Ainsi, \(R=Q(X+\frac{1}{2})-\frac{1}{2}\) est impair (penser au centre de symétrie du graphe de \(Q\)). On peut donc écrire \(R=XU(X^2)\).
Réciproquement ça marche (mais il reste un peu de calcul).
Exercise 281
Soit \(f\) une fonction localement polynomiale, i.e. \(\forall x \in \R\), \(\exists \varepsilon > 0, P_x \in \R[X]\), \(f = P_x\) sur \(]x-\varepsilon, x+\varepsilon[\). Montrer que \(f\) est un polynôme.
Solution to Exercise 281
Si elle ne l’est pas, soit \(s = \inf \{ x > 0 \; | \; f(x) \neq \P_0(x)\}\). Par hypothèse, \(s > 0\). Or \(P_s\) et \(P_0\) coïncident sur un intervalle, donc \(P_s = P_0\), donc \(s\) n’est pas l’infinimum. Remarque : avec le théorème de Baire, l’hypothèse plus faible \(\forall x, \exists n, f^{(n)}(x) = 0\) suffit.