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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Manipulations algébriques

Exercise 66

Calculer par télescopage \(S=\sum \limits_{k=0}^n \frac{k}{(k+1)!}\).

Solution to Exercise 66

\[\begin{align*} S &= \sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!} \\ &= 1 - \frac{1}{(n+1)!} \text{ (télescopage)} \\ \end{align*}\]

Exercise 67

Calculer par télescopage \(S=\sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}}\).

Solution to Exercise 67

\[\begin{align*} S &= \sum \limits_{k=0}^n \frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})} \\ &= \sqrt{n+1} \text{ (télescopage)} \\ \end{align*}\]

Exercise 68

Calculer \(S_1 = \sum \limits_{k=0, k \equiv 0[3]}^n {n\choose k}\).

Solution to Exercise 68

On note

\[\begin{align*} S_1 &= \sum \limits_{k=0, k \equiv 0[3]}^n {n\choose k} \\ S_2 &= \sum \limits_{k=0, k \equiv 1[3]}^n {n\choose k} j \\ S_3 &= \sum \limits_{k=0, k \equiv 2[3]}^n {n\choose k} j^2 \\ \end{align*}\]

On a alors

\[\begin{align*} S_1+S_2+S_3 &= (1+j)^n = -j^{2n} \\ S_1+jS_2+j^2S_3 &= (1+j^2)^n = -j^n \\ S_1+j^2S_2+jS_3 &= 2^n \\ \end{align*}\]

D’où en sommant les trois égalités \(S_1 = \frac{1}{3}(2^n-j^n-j^{2n})\).

Exercise 69

Calculer \(S_1 = \sum \limits_{k=0}^n {n\choose 2k}(-1)^k \).

Solution to Exercise 69

On note

\[\begin{align*} S_1 &= \sum \limits_{k=0}^n {n\choose 2k}(-1)^k \\ S_2 &= i\sum \limits_{k=0}^n {n\choose 2k+1} (-1)^k \\ \end{align*}\]

On a alors

\[\begin{align*} S_1+S_2 &= (1+i)^n \\ S_1-S_2 &= (1-i)^n \\ \end{align*}\]

D’où en sommant les deux égalités \(S_1 = \frac{1}{2}((1-i)^n+(1+i)^n)\).

Exercise 70

Calculer \(S_1(t) = \sum \limits_{k=0}^n {2n+1\choose 2k+1}t^{2k+1}\).

Solution to Exercise 70

On note

\[\begin{align*} S_1(t) &= \sum \limits_{k=0}^n {2n+1\choose 2k+1}t^{2k+1} \\ S_2(t) &= \sum \limits_{k=0}^n {2n+1\choose 2k}t^{2k} \\ \end{align*}\]

On a alors

\[\begin{align*} S_1(t)+S_2(t) &= (1+t)^{2n+1} \\ S_2(t)-S_1(t) &= (1-t)^{2n+1} \\ \end{align*}\]

D’où en sommant les deux égalités \(S_1(t) = \frac{1}{2}((1+t)^{2n+1}-(1-t)^{2n+1})\).

Exercise 71

Soit \(x_1, \; \ldots, \, x_p\) des entiers tels que pour tout \(k\), \(0 \leq x_k \leq k\) et \(x_p \neq 0\). La suite finnie \((x_1, \; \ldots, \, x_p)\) s’appelle l’écriture factorielle de l’entier \(n = \sum \limits_{k=1}^{p} x_kk!\). Montrer que cette écriture existe et est unique pour tout entier naturel \(n\).

Solution to Exercise 71

On montre l’unicité en premier lieu. Pour cela on se donne par l’absurde \(x_1, \, \ldots, \, x_p, y_1, \, \ldots, \,y_p\) tels que \(y_p-x_p \geq 1\) et \(\sum \limits_{k=1}^p (y_k-x_k)k! = 0\). De là \(p! \leq \sum \limits_{k=1}^{p-1} k \times k! < p!\), la dernière inégalité étant immédiate par récurrence. Cela fournit la contradiction et prouve l’unicité de la décomposition. Il suffit alors de remarquer que \([\![0,p!-1]\!]\) et \(\{(x_1, \, \ldots, \, x_{p-1}), \; 0 \leq x_k \leq k\}\) ont même cardinal pour conclure.

Exercise 72

Calculer pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\), la somme \(S_1 = \sum \limits_{k=0}^n {n \choose k} \cos(k \theta)\).

Solution to Exercise 72

L’astuce consiste à considérer la deuxième somme \(S_2 = \sum \limits_{k=0}^n {n\choose k}i\sin(k\theta)\). On a alors \(S_1 = \mathfrak{Re}(S_1 + S_2) = \mathfrak{Re}((1+e{i\theta})^n)\).

Exercise 73

Simplifier \((1-2z+z^2) \sum \limits_{k=1}^n kz^k\).

Solution to Exercise 73

On regarde le polynôme \(Q(X)=\sum \limits_{k=0}^nX^k = \frac{X^{n+1}-1}{X-1}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\) de dérivée \(Q'(X)=\sum \limits_{k=1}^nkX^{k-1} = \frac{nX^{n+1}-(n+1)X^n +1}{(X-1)^2}\). Ainsi le polynôme de l’énoncé et \(nX^{n+2}-(n+1)X^{n+1} +X\) coïncident sur un ensemble infini donc sur \(\mathbb{C}\).

Exercise 74

Soit \(E\) un ensemble de cardinal \(n\). Calculer \(S = \sum \limits_{A,B \subset E} |A \bigcap B|\).

Solution to Exercise 74

\[\begin{align*} S &= \sum \limits_{A,B \subset E} \sum \limits_{x \in E} \mathds{1}_{x \in A \bigcap B} \\ &= \sum \limits_{x \in E} \sum \limits_{A,B \subset E} \mathds{1}_{x \in A \bigcap B} \\ &= \sum \limits_{x \in E} | \{A,B \in E \setminus \{x\} \} | \\ &= \sum \limits_{x \in E} 4^{n-1} \\ &= n4^{n-1} \\ \end{align*}\]

Exercise 75

Soit \(p \in \N^*\). Calculer \(S = \sum \limits_{k=0, k \equiv 0[p]}^n {n\choose k}\)

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