.md .pdf

repository

\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Taylor-Young

Exercise 182

Soit \(f : \R \rightarrow \R\) une fonction \(\mathcal{C}^{\infty}\) et \(\lambda > 0\) telles que \(\forall n\)

\[\begin{align*} f^{(n)}(0) &= 0 \\ ||f^{(n)}||_{\infty} &\leq \lambda^n n! \end{align*}\]

Montrer que \(f\) est nulle.

Exercise 183

Soit \(f : \R^+ \rightarrow \R\) de classe \(\C^{\infty}\) telle que \(f(0) = \lim_{\infty} f = 0\). Montrer qu’il y a une suite \((a_n)\) strictement croissante telle que \(f^{(n)}(a_n) = 0\) pour tout \(n\).

Solution to Exercise 183

Par récurrence sur \(n\), l’initialisation étant acquise avec \(a_0=0\). Supposons donc donnés \(a_0 < a_1 < \ldots < a_n\) tels que \(f^{(k)}(a_k) = 0\), et par l’absurde que \(f^{(n+1)}\) ne s’annule pas sur \([a_n, +\infty[\), par exemple est positive (quitte à remplacer \(f\) par \(-f\)). Choisissons \(a>a_n\), ainsi \(f^{(n)}\) est strictement croissante sur \([a, +\infty[\). On écrit

\[\begin{equation*} f(a + x) - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)x^n}{n!} = \frac{f^{(n)}(c_x)x^{n}}{n!} \end{equation*}\]

et puisque \(f \underset{x \rightarrow+\infty}{\rightarrow} 0\), il vient \(f(c_x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\rightarrow} 0\) ce qui est impossible, car \(f^{(n)}\) est globalement minoré sur \([a, +\infty[\) par \(f^{(n)}(a) > 0\).

Exercise 184

Soit \(f : \R \rightarrow \R\) un application \(\mathcal{C}^{\infty}\). On note

\[\begin{equation*} M_k = || f^{(k)} ||_{\infty} \end{equation*}\]

1. On suppose \(M_0\) et \(M_2\) finis. Montrer

   \[\begin{equation*} M_1 \leq \sqrt{2M_1M_2} \end{equation*}\]

2. On suppose \(M_0\) et \(M_n\) finis. Montrer

   \[\begin{equation*} \forall k \in [\![0, n]\!], M_k \leq 2^{k(n-k)/2} M_0^{1-k/n}M_n^{k/n} \end{equation*}\]

3. La constante \(\sqrt{2}\) est-elle optimale ?

Solution to Exercise 184

1. On écrit classiquement

   \[\begin{align*} f(x + h) &= f(x) + f'(x)h + f''(x)\frac{h^2}{2} \\ f'(x) &= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{f''(x)h}{2}\\ &\leq \frac{2M_0}{h} + \frac{M_2 h}{2} \end{align*}\]

   La borne est minimisée en \(h = \sqrt{2\frac{M_0}{M_2}}\), et vaut \(2\sqrt{M_0M_2}\). C’est bien mais ce n’est pas suffisant. On utilise la fameuse idée de la pseudo dérivée seconde en regardant à gauche et à droite de \(x\)

   \[\begin{align*} f(x + h) &= f(x) + f'(x)h + f''(c_1)\frac{h^2}{2} \\ f(x - h) &= f(x) + f'(x)h + f''(c_2)\frac{h^2}{2} \\ \frac{f(x + h) - f(x-h)}{2} &= f'(x)h + \frac{f''(c_1)+f''(c_2)}{2}\frac{h^2}{2} \\ |f'(x)| &\leq \frac{M_0}{h} + \frac{M_2 h}{2} \end{align*}\]

   Et c’est gagné.

2. Par récurrence, mais c’est pas facile.

3. La réponse est oui. On va chercher à maximiser \(M_1\) pour \(M_0\) et \(M_2\) fixés. S’il n’y pas la contrainte de \(M_2\), on fait bouger \(f'\) très vite (un pic d’intégrale petite) pour atteindre des grandes valeurs tout en contraignant \(f\). Avec \(M_2\) on contrôle la vitesse de variation de \(f'\), mais on a donc tout intérêt à pousser les contraintes au maximum, c’est-à-dire de prendre \(f''\) en créneau égale à \(M_2\) puis \(-M_2\). On fait le calcul et ça marche. Mais la fonction n’est que \(\mathcal{C}_1\) donc on smooth \(f''\) de plus en plus proche de la fonction en créneau. In fine on se rapproche de \(\sqrt{2}\) arbitrairement proche.

Exercise 185

Soit \(f:[0,1]\rightarrow \R\) de classe \(\mathcal{C}^2\) vérifiant \(f(0)=f'(0)=f'(1)=0\) et \(f(1)=1\). Montrer qu’il existe \(c\in[0,1]\) tel que \(|f''(c)|\geq 4.\). La constante \(4\) est elle optimale ?

Solution to Exercise 185

On regarde ce qu’il se passe en \(\frac{1}{2}\), en écrivant

\[\begin{align*} f(1/2) = f(0 + 1/2) &= f(0) + 1/2f'(0) + \frac{f''(c_1)}{8} \\ f(1/2) = f(1 - 1/2) &= f(1) - 1/2f'(1) + \frac{f''(c_2)}{8} \\ \end{align*}\]

Et on conclut en considérant la première formule si \(f(1/2) > 1/2\), la deuxième sinon.

La constante est optimale, pour cela on prend deux bouts de parabole entre \(0\) et \(1/2\) puis entre \(1/2\) et \(1\) (la dérivée seconde est un créneau valant \(4\) puis \(-4\)).

previous

Dérivabilité

next

Convexité, inégalité arithmético-géométrique