R, Q, N¶

Exercise 76

Montrer qu’une union dénombrable d’ensemble dénombrable est dénombrable.

Exercise 77

Soit $\sigma: \N \rightarrow \N$ une bijection. Montrer que l’ensemble des $n$ tels que $\sigma(n) \geq n$ est infini.

Solution to Exercise 77

On va montrer que l’ensemble des $\{ \sigma \; | \; \exists n \sigma = \sigma(n) \textrm{ and } \sigma(n) \geq n \} $ n’est pas majoré, cela conclura par bijectivité de $\sigma$. Soit $N \in \N$, et considérons l’ensemble $\sigma([\![1, N]\!]$.

Si $\sigma([\![1, N]\!] = [\![1, N]\!]$ alors $\sigma(N+1) \geq N+1$.
Sinon $\exists k \leq N$ tel que $\sigma(k) > N$ i.e. $\sigma(k) \geq N+1$.

Exercise 78

Soit $\sigma$ une bijection de $\N^*$ dans $\N^*$ telle que $(\frac{\sigma(n)}{n})$ converge. Que dire de la limite ? Trouver un exemple où $(\frac{\sigma(n)}{n})$ ne converge pas.

Solution to Exercise 78

On va montrer que la limite est $1$. Soit $l$ la limite

Si $l<1$, soit $\varepsilon > 0$ suffisamment petit, il existe $N$ tel que $\forall n \geq N$, $\frac{\sigma(n)}{n} < 1-\varepsilon$. Soit $M = \max{\sigma(1), \ldots, \sigma(N)}$, et $K(M) = \lfloor \frac{M}{1-\varepsilon} \rfloor$. Quitte à prendre $M$ encore plus grand, $K \geq M+1$.

Exercise 79

Trouver une injection de $\R$ vers $\P(\N)$.
Trouver une injection de $\P(\N)$ vers $\R$.

Solution to Exercise 79

On définit l’image de $x$ par $\phi$ de la manière suivante : si le développement de $x$ est $ x=0,a_1a_2\ldots $ on pose

\[\begin{equation*} \phi(x) = \{ 1a_{\frac{n(n+1)}{2}}\ldots a_{\frac{(n+1)(n+2)}{2}-1} \; | \; n \in \N^* \} \end{equation*}\]

Meilleure solution : prendre la réciproque de la question 2, en binaire.
On définit l’image de $A \in \P(\N)$ par $\psi$ de la manière suivante: \begin{equation*} \psi(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \mathds{1}_{n \in A} 10^{-n} <end>equation*

Exercise 80

Soit $n \in \N^*$ et $a_1, \ldots, a_n$ des éléments de $[\![0,9]\!]$ non tous égaux à $9$. On note $x$ le réel dont le développement décimal est $0,a_1\ldots a_na_1\ldots a_na_1\ldots a_n\ldots$. Justifier l’existence et trouver $p,q \in \N$ tels que $x= \frac{p}{q}$.
Réciproquement, montrer que si $x$ est rationnel, alors son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.

Indication

On admettra que si $u$ et $v$ sont premiers entre eux, alors il existe $n$ tels que $u^n = 1 \mod{v}$.

Solution to Exercise 80

On note

\[\begin{equation*} a = \sum_{m=1}^{n}a_m10^{n-m} \end{equation*}\]

Alors

\[\begin{align*} x &= \sum_{k=1}^{+\infty}a10^{-nk} \\ &= a\frac{10^{-n}}{1 - 10^{-n}} \\ &= \frac{a}{10^n-1} \\ \end{align*}\]
Soit $x = \frac{p}{q}$ avec $p \land q = 1$. Écrivons $q = 2^\alpha 5^\beta q'$ avec $q'\land 2 = q' \land 5 = 1$. Quitte à multiplier le numérateur par une puissance appropriée de $2$ ou de $5$, on se restreint à l’étude de la forme suivante $x = 10^{-m} \frac{p'}{q'}$ où $p' \land q' = 1$ et $q' \land 10 = 1$.

Ensuite $10$ est inversible dans $(\Z/q'\Z, *)$ ce qui fournit $n$ tel que $10^n = 1 \mod{q'}$. En effet il existe $i<j$ tels que $10^i = 10^j \mod{q'}$ et on multiplie par $10^{-i}$. Finalement on peut écrire

\[\begin{equation*} x = 10^{-m}\frac{p''}{10^n-1} \end{equation*}\]

dont le développement décimal est périodique à partir d’un certain rang.

Exercise 81

Soit $k \in \N$. On définit $(a_n)_{n \in N}$ la suite telle que $a_n$ est le chiffre des unités du coefficient binomial ${n\choose k}$. On note $x$ le réel défini par la donné de son développement décimal propre

\[\begin{equation*} x = 0,a_1a_2a_3\ldots \end{equation*}\]

Montrer que pour tout $n \in \N$, il existe un entier $q$ tel que

\[\begin{equation*} {n+10k!\choose k} = {n\choose k} + 10q \end{equation*}\]
En déduire que $x \in \Q$

Exercise 82

Soit $A$ une partie non vide bornée de $\R$. Déterminer $\underset{x,y \in A}{\sup} |x-y|$.

Solution to Exercise 82

$\underset{x,y \in A}{\sup} |x-y| \leq \sup A - \inf A $ par définition. Soit $\varepsilon > 0$, et $x, y \in A$ tels que $ \sup A < x + \varepsilon $ et $ \inf A > y - \varepsilon$. Alors $\underset{x,y \in A}{\sup} |x-y| \geq \sup A - \inf A + 2 \varepsilon$.

Exercise 83

Résoudre dans $\R$ l’équation $x E(x) = x^2 - E(x)^2$ où $E(\cdot)$ désigne la fonction partie entière.

Solution to Exercise 83

Posons $n = E(x)$ et $\alpha = x - E(x) \in [0,1]$. On doit résoudre

\[\begin{equation*} n(n+\alpha) = n^2 + 2n\alpha + \alpha^2 - n^2 \end{equation*}\]

soit

\[\begin{equation*} \alpha^2 + n\alpha - n^2 = 0 \end{equation*}\]

Si $\alpha = 0$, cela impose $n = 0$ et on vérifie que $x=0$ convient. Sinon $\alpha = \frac{n(\sqrt{5}-1)}{2}$. Or $2 \leq \sqrt{5} \leq 3$, nécessairement $n=1$ et $x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ convient.

Exercise 84

Soit $G \subset \R$ sous-groupe de $\R$ pour l’addition. Montrer que $G$ est dense dans $\R$ ou bien $G$ est isomorphe à $a\Z$ pour un certain $a$ à expliciter.

Solution to Exercise 84

On note $G^+ = G \cap \R_+^*$. Considérons $a = \inf G^+$.

Si $a > 0$ : s’il existe $x,y \in G^+$ tels que $a\leq x < y < 2a$, alors $y-x \in G$ (car $G$ est un groupe) et $y-x > 0$ donc $y-x \in G^+$. Mais $y-x < a$, c’est impossible. Ainsi $a$ est atteint, i.e. $a \in G^{+}$. Puis, comme $G$ est un groupe, $a\Z \subset G$. On va montrer qu’en fait $a\Z = G$. Supposons donc par l’absurde qu’il existe $g\in G$, $g \notin a\Z$ c’est-à-dire qu’on peut trouver $k\in \Z$ tel que $ka < g < (k+1)a$. Alors $\gamma = (k+1)a - g \in G$ et $\gamma > 0$ donc $\gamma \in G^+$ et $\gamma < a$. C’est une contradiction.
Si $a= 0$ : on va montrer que $G^+$ est dense dans $\R_+$. Soit alors $x \in \R_+$ et $\varepsilon>0$. D’abord $a$ n’est pas atteint donc on peut trouver $g\in G$ tel que $0 < g < \varepsilon$. Prenons $n \in \N$ tel que $ng \leq x < (n+1)g$ (i.e. $n = \lfloor \frac{x}{g} \rfloor$). Alors $ng \in G$ et $|x-ng| < \varepsilon$. Cela conclut pour la densité de $G^+$ dans $\R_+$. Ensuite tout simplement $-G_+ \subset G$ et $-G_+$ est dense dans $\R_-$. Finalement, $G$ est dense dans $\R$.

Exercise 85

Soit $A$ une partie de $\R$. Déterminer $\sup \{ \alpha x | x \in A\}$ en fonction de $\alpha$.

Solution to Exercise 85

Si $\alpha > 0$, il s’agit de $\alpha \sup A$, si $\alpha = 0$ c’est évident et si $\alpha < 0$, il s’agit de $\alpha \inf A$.

Exercise 86

Déterminer le sup et l’inf de l’ensemble suivant

\[\begin{equation*} A = \{ \frac{mn}{(m+n)^2} \; | \; m,n \in \N\setminus\{0\} \} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 86

Commençons par noter que pour tout $m,n$, $\frac{mn}{(m+n)^2} > 0$ donc $\inf A \geq 0$. Puis par exemple $\underset{n \rightarrow + \infty}{\frac{1 \cdot n}{(1+n)^2}} = 0$ donc $\inf A \leq 0$, et finalement $\inf A = 0$.

Ensuite on écrit pour $m,n \in \N\setminus\{0\}$

\[\begin{equation*} \frac{mn}{(m+n)^2} = \frac{1}{\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2} \end{equation*}\]

La fonction $x + \frac{1}{x}$ est minorée par $2$ sur $\R+$, il suit que pour tout $m,n$, $\frac{mn}{(m+n)^2} \leq \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$, et cette borne est atteinte pour $m,n=1$. Il suit $\sup A = \frac{1}{4}$.

Exercise 87

Soit $a,b,c$ des réels de $[0,1]$. Montrer qu’au moins une des quantités suivantes est plus petite que $\frac{1}{4}$ : $a(1-b), \; b(1-c), \; c(1-a)$.

Solution to Exercise 87

$a(1-b)b(1-c)c(1-a) = a(1-a) b(1-b) c(1-c) \leq \frac{1}{4^3}$ d’où la conclusion.

Exercise 88

Déterminer

\[\begin{equation*} \inf \{ (x_1+ \ldots+ x_n)(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}) \; | \; x_1, \ldots, x_n \in \R_+^*\} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 88

Notons $A_n = \{ (x_1+ \ldots+ x_n)(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}) \; | \; x_1, \ldots, x_n \in \R_+^*\}$.

Avec Cauchy-Schwarz, on a immédiatement que $\inf(A_n) \geq n^2$ et le cas $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$ permet de conclure que $\inf(A_n) = n^2$.

Supposons qu’on ne connaisse pas Cauchy-Schwarz et retrouvons ce résultat par récurrence sur $n$. Pour $n=2$ On développe

\[\begin{align*} (x_1 + x_2)\cdot(\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}) &= 2 + \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} \\ &\geq 2 + 2 \quad \textrm{par étude de la fonction $x \mapsto x + \frac{1}{x}$} \end{align*}\]

et avec le cas $x_1 = x_2 = 1$, on trouve $\inf A_2 = 4$. Ce cas nous donne l’idée d’évaluer $x_1=x_2=\ldots=x_n=1$, et on essaye donc de prouver que $\inf A_n = n^2$. Hérédité On regarde

\[\begin{align*} (x_1+ \ldots+ x_n + x_{n+1})(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n} + \frac{1}{x_{n+1}}) &= (x_1+ \ldots+ x_n)(\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}) + 1 + \sum_{i=1}^n\frac{x_i}{x_{n+1}} + \frac{x_{n+1}}{x_i} \\ &\geq \inf A_n + 2n + 1 = (n+1)^2 \end{align*}\]

Exercise 89

Montrer pour $n\in \N$ que $\sqrt{n} \in \Q \Leftrightarrow \sqrt{n} \in \N$
Soit $a,b \in \N$ qui ne sont pas des carrés parfaits. Montrer que $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ est irrationnel.

Solution to Exercise 89

Le sens retour est évident. Soit $n$ qui n’est pas un carré parfait. Il s’agit de montrer que $\sqrt{n}$ est irrationnel, supposons par l’absurde qu’il ne l’est pas et on écrit $n = \frac{p^2}{q^2}$, soit $nq^2 = p^2$. Par identification des exposants dans la décomposition en facteur premier des deux termes, tous les exposants de la décomposition de $n$ en facteur premier sont pairs, $n$ est donc un carré parfait, ce qui est une contradiction.
On note $x = \sqrt{a}+\sqrt{b}$ et $y = \sqrt{a}-\sqrt{b}$. On a $xy \in \Q$ donc $x$ et $y$ sont soit tous deux rationnels, soit tous deux irrationnels. Mais $x+y \notin \Q$, ils sont donc irrationnels.

Exercise 90

Un nombre univers est un nombre tel que toute séquence finie de chiffres apparaît dans son développement décimal.

Exhiber un nombre univers.
Montrer que l’ensemble des nombres univers est dense dans $\R$.

À titre informatif, sachez qu’on peut montrer que l’ensemble des nombres univers est indénombrable.

Solution to Exercise 90

$\alpha= 0.012345678910111213141516\ldots$
Soit $a<b\in\R$. On montre qu’il existe un nombre univers dans $]a,b[$. Soit $k$ tel que $a + 2\times10^{-k}<b$. $10^{-k}\lfloor 10^ka\rfloor = 10^{-k-1}\alpha$ convient.

Montrons que l’ensemble des nombres univers est indénombrable. Pour cela, notons $\alpha = 0.a_0b_0a_1b_1a_2\ldots$ où $a_n$ est l’écriture en base 10 de $2n$, et $b_n$ de $2n+1$. Remarquons que $a_ib_i \neq b_ia_i$ pour tout $i$ (par exemple car il n’ont pas la même valeur modulo $2$). À $(u_n) \in \{0,1\}^{\N}$ on associe $f(u_n) = 0.c_0c_1c_2\ldots$ où

\[\begin{equation*} \begin{cases} c_i = a_ib_i \qquad \textrm{si $u_i = 1$}\\ c_i = b_ia_i \qquad \textrm{sinon} \end{cases} \end{equation*}\]

Il suffit de remarquer pour conclure que $f$ est une fonction injective de $\{0,1\}^{\N}$ vers $\mathcal{U}$ l’ensemble des nombres univers.

Exercise 91 (nombre incommensurable)

Soit $x \in \R$ un irrationnel. On note $D(\cdot)$ la fonction partie fractionnaire. Montrer que $\{D(nx) \; | \; n\in \N \}$ est dense dans $[0,1]$.
On dit que $x$ et $y$ sont incommensurables si leur rapport est irrationnel. Soit $x,y$ incommensurables. Si $z$ est un réel, on note $z \mod{y} = y D(z/y) \in [0, y[$. Montrer que l’ensemble $\{nx \mod y \; | \; n \in \N \}$ est dense dans $[0,y[$. En déduire que $\{ \cos(n) | n \in \N \}$ est dense dans $[0,1]$.

Indication

On admet l’irrationnalité de $\pi$

Solution to Exercise 91 (nombre incommensurable)

Soit $A = \{D(nx) \; | \; n\in \N \}$. Commençons par remarquer que par irrationnalité de $x$, $D(nx)>0$ pour tout $n$. Il s’agit donc montrer que la borne inférieure de $A$ est $0$.

$A$ n’admet pas de minimum Soit $\delta = D(nx)$. Si $\delta$ est rationnel, égal à $p/q$, alors $D(nqx)=0$ ce qui est impossible. Ainsi $\delta$ est irrationnel. Considérons alors $k = \lfloor \frac{1}{\delta} \rfloor$. Par irrationalité de $\delta$, $k\delta < 1$ et $(k+1)\delta > 1$. Notons $\eta = 1-k\delta > 0$. On a $D(nkx) = k\delta$ et $D(n(k+1)x) = 1 + (\delta - \eta) - 1 = \delta - \eta < \delta$. Cela prouve que $A$ n’admet pas de minimum. L’infinimum de $A$ est $0$ Notons $a = \inf A$, et supposons par l’absurde $a>0$. Soit $\varepsilon > 0$ tel que $\varepsilon < a$. Puisque $a$ n’est pas atteint, on peut trouver $n<m$ tels que $a < D(mx) < D(nx) < a + \varepsilon$. On pose $\delta = D(nx) - D(mx) < \varepsilon$

Lemma

Soit $a,b \in \N$. Alors

\[\begin{equation*} D(ax) + D(bx) = \begin{cases} D((a+b)x)\\ \textrm{ou} \\ 1+D((a+b)x) \end{cases} \end{equation*}\]

Proof. On écrit $ax = n_a + D(ax)$, $bx = n_b + D(bx)$. Il vient $(a+b)x = n_{a+b} + D((a+b)x) = n_a + n_b + D(ax) + D(bx)$. Or $0 < D(ax) + D(bx) < 2$ et de là le résultat.

D’après le lemme on a donc $D(nx) + D((m-n)x) = 1 + D(mx)$, soit $D((m-n)x) = 1 - \delta$. En particulier, $\delta$ est irrationnel. Informellement, ajouter $(m-n)x$ revient à retirer $\delta$ de la partie fractionnaire. En considérant les multiples de $(m-n)$, pn peut ainsi atteindre $1-\delta$, $1-2\delta$, $1-3\delta$, etc. On peut retirer $\delta$ jusqu’à trouver une partie fractionnaire plus petite que $a$. Rendons cet argument formel.

Soit $k = \lfloor \frac{1}{\delta} \rfloor$. Par irrationnalité de $x$, $k\delta < 1$ et $(k+1)\delta > 1$. Notons $\eta = 1-k\delta > 0$ et remarquons que $\eta < \delta < \varepsilon < a$. On écrit

\[\begin{align*} k(m-n)x &= k (\lfloor mx \rfloor - \lfloor nx \rfloor) + k(D(mx) - D(nx)) \\ &= k (\lfloor mx \rfloor - \lfloor nx \rfloor) - k\delta \\ &= k (\lfloor mx \rfloor - \lfloor nx \rfloor) -1 + \eta\\ \end{align*}\]

Ainsi $D(k(m-n)x) = \eta < a$, ce qui est impossible !
Par la question $1$, $\{D(n\frac{x}{y}) \; | \; n\in \N \}$ est dense dans $[0,1]$ donc $\{yD(n\frac{x}{y}) \; | \; n\in \N \}$ est dense dans $[0,y]$. Ensuite $\pi$ est irrationnel donc $\frac{1}{2\pi}$ également, donc $1$ et $2\pi$ sont incommensurables, donc $\{ n \mod{2\pi}\}$ est dense dans $[0,2\pi]$ et cela conclut.

Exercise 92

Soit $\mathcal{S}$ une famille finie de segment de $\R$, telle que $\forall I,J \in \mathcal{S}, \; I \cap J\neq \emptyset$. Montrer que $\underset{I \in \mathcal{S}}{\bigcap} I \neq \emptyset$. Et si la famille est infinie ?

Solution to Exercise 92

On note $I_1 = [a_1, b_1], I_2 = [a_2, b_2], \ldots, I_n = [a_n, b_n]$ les segments de $\mathcal{S}$. Notons $a = \max a_i = a_{\gamma}$ et $b = \min b_i = b_{\delta}$. Puisque $I_{\gamma}$ et $I_{\delta}$ sont d’intersection non vide, il vient $a \leq b$. On montre alors facilement que $[a,b] \subset\underset{I \in \mathcal{S}}{\bigcap} I \neq \emptyset$. Si la famille est infinie, on remplace $\min$ et $\max$ par $\inf$ et $\sup$ mais les inégalités subsistent.

Exercise 93

PROOF UNCOMPLETE

Soit $\alpha, \beta \in \R$. On pose $A = \{E(n\alpha) \; | \; n \in \N \}$ et $B = \{E(n\beta) \; | \; n \in \N \}$. Montrer que $A$ et $B$ forment une partition de $\N^*$ si et seulement si $\alpha$ et $\beta$ sont irrationnels et vérifient $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1$.

Indication

Introduire la fonction de densité d’une partie $P$ de $\N$ $d(P) = \lim Card(P\cap[\![1;n]\!])/n$*.

Solution to Exercise 93

Pour le sens retour, on suppose qu’il existe $k = E(na) = E(mb)$. Alors $k < na, mb < k+1$ (les inégalités étant strictes par irrationnalité). On peut alors écrire

\[\begin{align*} k &= \frac{k}{a} + \frac{k}{b} \\ &< n+m <\frac{k+1}{a} + \frac{k+1}{b} = k+1 \end{align*}\]

Ce qui induit une contradiction.

Poiur le sens direct, on remarque que la densité de $A$ est $\frac{1}{a}$, que la densité de $B$ est $\frac{1}{b}$ et que la densité se somme pour l’union disjointe.

Exercise 94

Montrer que $\R$ et $\R^2$ sont équipotents. En déduire que $\R^a$ et $\R^b$ sont équipotents, pour $a,b \in \N^*$.

Solution to Exercise 94

$\R \cong \{0,1\}^\N$. Il suffit de montrer que $\{0,1\}^\N \ times \{0,1\}^\N \cong \{0,1\}^\N$. C’est facile. Cela donne

\[\begin{equation*} f : \begin{cases} \{0,1\}^\N \times \{0,1\}^\N \rightarrow \{0,1\}^\N \\ (a_1, a_2, \ldots),(b_1, b_2, \ldots) \mapsto (a_1, b_1, a_2, b_2, \dots) \end{cases} \end{equation*}\]

Ensuite par récurrence $\R \cong \R^n$.

Exercise 95

Trouver une injection de $\sigma : \R \rightarrow \mathcal{P}(\N)$ telle que $\sigma(x)$ soit infinie pour tout réel $x$, et telle que $\sigma(x)\cap\sigma(y)$ soit finie pour tout $x\neq y$

Solution to Exercise 95

On cherche tout d’abord $\sigma : ]0,1[ \rightarrow \mathcal{P}(\N)$. À un réel d’écriture binaire $0,a_1a_2a_3\ldots$ on associe $\{ \sum^n a_i2^i \; | \; \forall n \in \N, \; a_n=0\}$. On vérifie que $\sigma$ vérifie les hypothèses voulues. Ensuite il ne reste plus qu’à composer à droite par (par exemple) $1/2(1+\arctan)$ qui envoie injectivement $\R$ sur $]0,1[$.

Exercices de kholles

R, Q, N

R, Q, N¶