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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Groupe cyclique

Exercise 245

Montrer que le groupe alterné \(\mathcal{A}_n\) est engendré par les 3-cycles de \(\S_n\).

Solution to Exercise 245

On observe que \((a_1 \; a_2 \; a_3) \circ (a_2 \; a_3 \; a_4) = (a_1 \; a_2) \circ (a_3 \; a_4)\). Puis \((a_1 \; a_2) \circ (a_2 \; a_3) = (a_1 \; a_2 \; a_3)\). Notons \(\mathcal{B}_n\) le groupe engendré par les trois cycles. Alors pour tout \(b \in \mathcal{B}_n\), \(\varepsilon(b) = 1\) donc \(\mathcal{B}_n \subset \mathcal{A}_n\). Si \(a \in \mathcal{A}_n\), on décompose \(a\) comme produit de transpositions. En évaluant la signature de \(a\), il vient qu’il y a un nombre pair de ces transpositions, on peut donc les regrouper deux par deux. D’après l’observation initiale, \(a\) se décompose en produit de 3-cycles. Cela conclut.

Exercise 246

Trouver tous les morphismes de groupe de \((\S_n,\circ)\) dans \((\C^*, \times)\).

Variante trouver tous les morphismes de groupe de \((\S_n,\circ)\) dans \(G\) un groupe commutatif (ça marche pareil).

Solution to Exercise 246

Soit \(\mu\) un tel morphisme. Alors pour toute transposition \((i \; j)\), \(\mu^2(i \; j) = 1\) donc l’image des transpositions par \(\mu\) est dans \(\{-1,1\}\) et puisque les transpositions engendrent le groupe symétrique, \(\mu\) est un morphisme dans \((\{-1,1\}, \times)\). S’il vaut \(1\) sur les transpositions, il est trivial. Sinon par exemple \(f(1 \; 2) = -1\). Alors pour tout \(i \in [\![3,n]\!]\), on a \(f(1 \; 2 \; i)^3 = f(Id)=1=f((1 \; i) \circ (1 \; 2))^3 = -1 \times f(1 \; i)^3\) donc \(f(1 \; i) = -1\) puis avec le même raisonnement, pour tout \(j\), \(f(i \; j) = -1\). Ainsi \(\mu\) et le morphisme signature \(\varepsilon\) coïncident sur une partie qui engendre le groupe, donc sont égaux. Finalement les deux seuls morphismes de \((\S_n,\circ)\) dans \((\C^*, \times)\) sont l’identité et la signature.

Exercise 247

Soit \(n \in \N^*\). Calculer le nombre moyen de points fixes des permutations de \(\S_n\).

Solution to Exercise 247

Soit \(m\) ce nombre. On écrit

\[\begin{align*} m &= \frac{1}{n!} \sum_{\sigma \in \S_n} \sum_{i=1}^n \mathds{1}_{i=\sigma(i)} \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{i=1}^n \sum_{\sigma \in \S_n} \mathds{1}_{i=\sigma(i)} \\ &= \frac{1}{n!} \sum_{i=1}^n (n-1)! \\ &= 1 \\ \end{align*}\]

Exercise 248

Montrer que les permutations de \(\S_n\) qui commutent avec \(\sigma = (1 \; 2 \; \ldots \; n)\) sont les puissances de \(\sigma\).

Solution to Exercise 248

Soit \(\tau\) qui commute avec \(\sigma\). On a \((\tau(1) \; \tau(2) \; \ldots \; \tau(n)) = \tau \circ \sigma \circ \tau^{-1} = (1 \; 2 \; \ldots \; n) \). Soit \(i = \tau^{-1}(1)\). On a donc pour tout \(k \in [\![ 0,n-1 ]\!]\), \(\tau(i+k) = 1+k\), donc \(\tau = \sigma^{i-1}\).

Exercise 249

Pour \(\sigma \in \S_n\), on définit l’orbite d’un élément \(i \in [\![1,n]\!]\) comme étant

\[\begin{equation*} \{ \sigma^k(i) \; | \; k \in \N \} \end{equation*}\]

On note \(o(\sigma)\) le nombre d’orbites distinctes de \(\sigma\). Exprimer \(\varepsilon(\sigma)\) en fonction de \(o(\sigma)\) .

Solution to Exercise 249

On décompose en cycles à supports disjoints. On trouve \(\varepsilon(\sigma) = (-1)^{n-o(\sigma)}\).

Exercise 250

Pour chacune des décompositions suivantes, calculer leur puissance 2018.

\[\begin{align*} \sigma_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 6 & 1 & 3 & 9 & 10 & 8 & 5 & 2 & 4 & 7 \\ \end{pmatrix} \\ \sigma_2 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 8 & 6 & 3 & 4 & 7 & 2 & 10 & 1 & 9 & 5 \\ \end{pmatrix} \\ \sigma_3 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 2 & 8 & 3 & 9 & 5 & 1 & 7 & 6 & 4 & 10 \\ \end{pmatrix} \\ \end{align*}\]

Solution to Exercise 250

Simple décomposition en cycles à supports dijoints.

Exercise 251

Soit \(\sigma = (i_1 \; i_2 \; \ldots \; i_p)\) un cycle de \(\S_n\) et \(\tau \in \S_n\). Exprimer \( \tau \circ \sigma \circ \tau^{-1}\).

Solution to Exercise 251

Il s’agit de \((\tau(i_1), \tau(i_2), \ldots, \tau(i_p))\).

Exercise 252

Montrer que \(\S_n\) est engendré par \((1 \; 2)\) et \((1\; 2 \; \ldots \; n )\).

Solution to Exercise 252

Notons \(\sigma = (1 \; 2)\) et \(\tau = (1\; 2 \; \ldots \; n )\). Les \(\tau^n \circ \sigma \circ \tau^{-n}\) génèrent les \((i,i+1)\). Puis on génère \((1,i+1) = (i, i+1) (1,i) (i, i+1)\). Enfin on génère \((i,j) = (1,j) (1,i) (1,j)\), donc toutes les transpositions, donc le groupe.

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