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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Systèmes linéaires

Exercise 369

Discuter de l’existence et de l’unicité d’un polygône à \(n\) côté où les milieux de chaque côté sont fixés.

Solution to Exercise 369

Le système est équivalent à l’existence d’affixe \(z_1, \ldots, z_n\) tels que \(\forall i\), \(z_i + z_{i+1} = 2a_i\). Ceka donne un système à résoudre. On trouve que si \(n\) est impair il y a toujours une unique solution, et que si \(n\) est pairon a la condition de compatibilité \(\sum (-1)^k a_k = 0\) et lorsqu’elle est remplie il y a une infinité de solutions.

Exercise 370

Soit \(A\in \M_n(\R)\). Montrer que \(A\) est de rang \(r\) si et seulement si \(A\) est équivalente à \(J_r\). En déduire que \(A\) et \(A^t\) ont même rang.

Solution to Exercise 370

Corollaire du pivot de Gauss : équivalence à un certain \(J_s\), puis même dimension de l’image : \(r=s\).

Exercise 371

Soit \(A \in \M_{n,p}(\R)\) de rang \(r\), \(V \in GL_p(\R)\) telle que \(AV\) soit échelonnée en colonnes. Montrer que

1. \(C_1(AV), \ldots, C_r(AV)\) est une base de \(Im(A)\).

2. \(C_{r+1}(V), \ldots, C_p(V)\) est une base de \(Ker(A)\).

Solution to Exercise 371

1. La famille est libre car \(AV\) est échelonnée en colonne, elle est composée de vecteurs de \(Im(A)\) donc libre et bonne dimension, donc base.

2. \(AC_k(V)=C_k(AV)\) donc c’est une famillede \(Ker(A)\), libre car \(V\) est inversible, et de bon cardinal. C’est une base.

Exercise 372

Soit \(A \in \M_n(\R)\) de rang \(r\) et \(U \in GL_n(\R)\) telle que \(UA\) est échelonnée en lignes. Montrer que

1. \(X\in Ker(A)\) si et seulement si

   \[\begin{equation*} L_1(UA)X=0, \ldots, L_r(UA)X=0 \end{equation*}\]

2. \(Y \in Im(A)\) si et seulement si

   \[\begin{equation*} L_{r+1}(U)Y=0, \ldots, L_n(U)Y=0 \end{equation*}\]

Solution to Exercise 372

1. \(X \in Ker(A) \Leftrightarrow UAX = 0 \Leftrightarrow \forall i, \; L_i(UA)X = 0 \Leftrightarrow \forall i \leq r, \; L_i(UA)X=0\)

2. On écrit \(Y=AX\). Alors \(UY=UAX\) donc \(\forall i > r, L_i(UY)=0\). D’où \(Im(A) \subset \bigcap \limits_{i=r+1}^n Ker(L_i(U))\). Or \(L_{r+1}(U), \ldots, L_n(U)\) est libre donc \(dim(\bigcap \limits_{i=r+1}^n Ker(L_i(U))) = n-(n-r)=r=rg(A)\). D’où l’égalité.

Exercise 373

Trouver une base du noyau et de l’image de

\[\begin{equation*} A=\begin{pmatrix} 1&0&2&1&2 \\ 0&1&1&3&3\\ 1&1&2&2&1 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

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