Groupes
Groupes¶
Exercise 230
Soit \(H\) un sous-groupe stricte de \(G\). Déterminer le sous-groupe engendré par le complémentaire de \(H\).
Solution to Exercise 230
Il existe \(g \in G \setminus H\). Soit \(h \in H\), on a \(h = hg.g^{-1}\) où \(hg \notin H\) et \(g^{-1} \notin H\).
Exercise 231
Soit \(G\) un groupe abélien fini de cardinal \(m\) et soit \(n\) premier avec \(m\). Montrer que \(x \mapsto x^n\) est un isomorphisme de \(G\) dans \(G\).
Solution to Exercise 231
C’est un morphisme. Il est bijectif car \(x^n=1\) si et seulement si \(x=1\).
Exercise 232
Soit \(G\) un groupe fini, et \(x,y \in G\). Montrer que \(xy\) et \(yx\) ont même ordre.
Solution to Exercise 232
\(x\) et \(yxy^{-1}\) ont même ordre.
Exercise 233
Soit \(G\) muni d’une loi de composition interne associative qui possède un neutre à droite \(e\) (i.e. \(\forall g \in G, \; g.e = g\)) et tel que tout élément \(g\) possède un inverse à droite \(g'\) (i.e. \(gg'=e\)). Montrer que \(G\) est un groupe.
Solution to Exercise 233
Soit \(g \in G\), \(g'\) son inverse à droite. On veut montrer \(g'g=e\). Soit \(h\) l’inverse à droite de \(g'g\). On écrit
Cela fournit par ailleurs que \(e\) est un neutre à gauche puisque
Exercise 234
Montrer que \((\R^*, .)\) et \((\C^*, .)\) ne sont pas isomorphes.
Solution to Exercise 234
Impossible car tout complexe admet une racine donc un morphisme de \(\C^*\) vers \(\R^*\) ne prend pas de valeurs négatives.
Exercise 235
Montrer que les groupes suivant ne sont pas isomorphes : \((\Z,+)\), \((\Q, +)\), \((\Q^*_+, .)\)
Solution to Exercise 235
\(\Z\) est monogène, pas les autres. Tout élément de \((\Q,+)\) admet une moitié, pas les autres.
Exercise 236
Soit \(A,B\) deux parties d’un groupe fini \(G\), telles que \(|A|+|B| > |G|\). Montrer que \(AB=G\)
Solution to Exercise 236
\(a \mapsto a^{-1}g\) est injectif donc atteint \(B\) sur \(A\).
Exercise 237
Soit \(G\) un groupe fini de cardinal pair. Montrer que \(G\) admet un élément d’ordre 2.
Solution to Exercise 237
On considère la relation \(\equiv\) d’équivalence sur \(G\) définie par
et soit \((x_i)_{i \in I}\) un ensemble de représentants des classes d’équivalence de \(\equiv\). Alors d’une part \(\forall i, |\overline{x_i}| \leq 2\) et
est pair. Or \(|\overline{1_G}|=1\) donc il existe un autre élément, soit \(g\) tel que \(|\overline{g}|=1\), i.e. \(g=g^{-1}\) soit \(g^2=1_G\).
Exercise 238
Montrer que \(G\) est fini si et seulement si \(G\) n’a qu’un nombre fini de sous-groupes.
Solution to Exercise 238
Seule le sens retour mérite preuve. Soit \(a \in G\), si \(<a>\) est infini, \(<a>\) est isomorphe à \(\Z\) qui admet un nombre infini de sous-groupes. Par contraposée, \(<a>\) est fini. Puis on écrit \(G = \bigcup \limits_{g \in G} <g>\) et comme par hypothèse seul un nombre fini de ces sous-groupes sont distincts, on a écrit \(G\) comme union finie d’ensembles finis. Finalement \(G\) est fini.
Exercise 239
Que peut-on dire d’un groupe dont les seuls sous groupes sont triviaux ?
Solution to Exercise 239
Soit \(g\in G \setminus \{ e \}\). \(\langle g \rangle\) est fini, sinon il est isomorphe à \((\Z, +)\) qui possède des sous-groupes non triviaux. Comme les seuls sous-groupes sont triviaux, \(G=\langle g \rangle\) est fini. Puis \(|G|\) est premier, sinon il existe des sous-groupes non triviaux.
Exercise 240
Soit \(G\) un groupe, \(H,K\) des sous-groupes de \(G\). Montrer que \(HK\) est un sous-groupe si et seulement si \(HK=KH\).
Solution to Exercise 240
Sens direct Soit \(x\) un élément de \(HK\). On a \(x^{-1} = hk\) donc \(x = k^{-1}h^{-1} \in KH\). Pareil pour l’inclusion inverse.
Sens retour Soit \(h_1.k_1, h_2.k_2 \in HK\). On a \(k_1k_2^{-1}h_2^{-1} \in KH\) donc \(k_1k_2^{-1}h_2^{-1} = h'k'\). De là \(h_1k_1(h_2k_2)^{-1} = hh'k' \in HK\).
Exercise 241
Trouver le plus petit \(n\) tel qu’il existe un groupe de cardinal \(n\) non abélien.
Solution to Exercise 241
Pour \(n=1\), le groupe est trivialement abélien. Pour \(n=2,3,5\), il est cyclique donc abélien. Pour \(n=4\), il est soit cyclique donc abélien, soit tous les éléments sont d’ordre \(2\) auquel cas il est abélien (classique). Pour \(n=6\), il a \(\S_3\) qui n’est pas abélien.
Exercise 242 (théorème de Lagrange)
Soit \((G, \cdot)\) un groupe et \(H\) un sous-groupe de \(G\).
Montrer que pour tout \(a\in G\), \(|aH|=|H|\).
Soit \(a,b \in G\). Montrer que \(aH=bH\) ou bien \(aH \cap bH = \emptyset\).
En déduire que \(|H|\) divise \(|G|\) (Lagrange).
Exercise 243
Soit \((G, \cdot)\) un groupe. On note pour \(a \in G\), \(\tau_a : g \mapsto aga^{-1}\). Montrer que \(\{ \tau_a | a \in G\}\) muni de la composition a une structure de groupe.
Exercise 244
Soit \(G\) un groupe commutatif de cardinal \(pq\), où \(p\) et \(q\) sont premiers distincts. Montrer que \(G\) est cyclique.
Solution to Exercise 244
Soit \(g\in G, \; g \neq 1_G\). Par Lagrange \(|<g>| \in \{ p, q, pq \}\). Si \(|<g>|=pq\), \(G\) est cyclique. Sinon par exemple \(|<g>|=p\). Il suffit de trouver un élément \(g'\) d’ordre \(q\). On peut conclure facilement avec les groupes quotients, essayons de s’en passer. On définit la relation d’équivalence \(x \equiv y\) si et seulement si \(\exists h \in <g>, \; x=hy\). Chaque classe d’équivalence est de cardinal \(p\), il y a donc \(q\) classes d’équivalence et on peut naturellement définir une structure de groupe sur les classes d’équivalence, et ce groupe est de cardinal premier donc cyclique, engendré par \(\overline{g'}\). Ainsi \(q\) divise l’ordre de \(g'\). Si cet ordre est \(pq\), \(G=<g'>\) est cyclique, sinon cet ordre est \(q\) et \(G=<gg'>\) est cyclique.