Fractions rationnelles
Fractions rationnelles¶
Un résultat important : si \(P\) est à racines simples (notons les \((x_i)\)), \(Q \land P = 1\) et \(deg(Q) < deg(P)\), alors
Exercise 282
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes.
\(F_1=\frac{1}{X^n-1}\) dans \(\C[X]\)
\(F_2 = \frac{n!}{(X-1)(X-2)\ldots(X-n)}\) dans \(\R[X]\).
\(F_3 = \frac{1}{X^{2n}+1}\) dans \(\C[X]\) puis \(\R[X]\)
\(F_4 = \frac{X+1}{X^8(X+2)}\)
\(F_5 = \frac{X^2}{(X^2-1)^2}\)
Solution to Exercise 282
Notons \(w_1, \ldots, w_n\) les racines \(n\)-ième de l’unité. On a donc \( F_1 = \sum \frac{a_k}{X-w_k} \). On écrit
\[\begin{align*} a_k &= \frac{1}{\prod_{i \neq k} (w_k - w_i)}\\ &= \frac{1}{w_k^{n-1}} \frac{1}{\prod_{i \neq k} (1 - w_i/w_k)}\\ &= w_k^{1-n} \left ( \prod_{w_i \neq 1} (1 - w_i) \right ) ^{-1}\\ &= w_k^{1-n}n^{-1}\\ &= \frac{w_k}{n} \end{align*}\]D’où
\[\begin{equation*} F_1 = \frac{1}{n} \sum \frac{w_k}{X-w_k} \end{equation*}\]On a donc \(F_2 = \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{X-k}\) Et on évalue :
\[\begin{align*} a_k &= \frac{n!}{(k-1)!\times (-1)^{n-k}(n-k)!} \\ &= (-1)^{n-k} n {n-1 \choose k-1} \end{align*}\]d’où
\[\begin{equation*} F_2 = n (-1)^n \sum_{k=1}^n (-1)^k\frac{{n-1 \choose k-1}}{X-k} \end{equation*}\]Notons \(w = e^{\frac{i\pi}{2n}}\), un pôle de \(F_3\). Notons \(w_0, \ldots, w_{2n-1}\) les racines \(2n\)-ièmes de l’unité. Il vients que les \(\nu_k = ww_k = e^{i\pi \frac{2k+1}{2n}}\) sont les pôles de \(F_3\) dans \(\C\), puis
\[\begin{equation*} F_3 = -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{2n-1} \frac{\nu_k}{X-\nu_k} \end{equation*}\]est la DES dans \(\C\) de \(F_3\). Puis en associant \(\nu_{k}\) et \(\nu_{2n-1-k}\) on trouve la DES dans \(\R\) : \(F_3 = \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n \frac{a_kX+b_k}{X^2-2\cos{\frac{2k+1}{2n}\pi}+1}\) où \( a_kX + b_k = (X-\nu_k)\nu_{2n-1-k} + (X-\nu_{2n-1-k})\nu_k \) d’où \(a_k = 2\cos{\frac{2k+1}{2n}\pi}\) et \(b_k = -2\) soit
\[\begin{equation*} F_3 = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \frac{-\cos{\frac{2k+1}{2n}\pi}X+1}{X^2-2\cos{\frac{2k+1}{2n}\pi}+1} \end{equation*}\]On effectue un DL en \(0\) de \(\frac{x+1}{x+2}\) :
\[\begin{align*} \frac{x+1}{x+2} &\underset{0}{=} \frac{1}{2}(x+1)(\sum_{k=0}^8 (-1)^k(\frac{x}{2})^k + o(x^8)) \\ &\underset{0}{=} \frac{1}{2} - \sum_{k=1}^8(-1)^k(\frac{x}{2})^k \\ \end{align*}\]On en déduit un \(DL\) de \(F_4\) puis on identifie les termes de la DES et du DL.
On écrit
\[\begin{equation*} F_5 = \frac{a}{X-1}+\frac{b}{(X-1)^2}+\frac{c}{X+1}+\frac{d}{(X+1)^2} \end{equation*}\]Mais \(F_5\) est paire, cela amène en remplaçant \(X\) par \(-X\) :
\[\begin{equation*} \begin{cases} a &= -c \\ b &= d \end{cases} \end{equation*}\]On évalue en \(0\) pour obtenir l’équation supplémentaire \(a=b\), puis en \(1\) pour obtenir \(b=\frac{1}{4}\). Cela fournit la DES.
Exercise 283
Calculer la dérivée \(n\)-ième de
Solution to Exercise 283
On décompose
Puis la dérivé \(n\)-ième de \(\frac{1}{X+a}\) est \(\frac{(-1)^nn!}{(X+a)^{n+1}}\). De là
On peut simplifier en remarquant que les coefficient de cette dérivée doivent être réels, et donc on peut prendre la partie imaginaire du gros machin.
Exercise 284
Soit \(P,Q\) non nuls, premiers entre eux. Montrer que \(F=\frac{P}{Q}\) est paire si et seulement si \(P\) et \(Q\) sont pairs. Établir un résultat équivalent pour \(F\) impaire.
Solution to Exercise 284
\(P\) divise \(P(X)Q(-X)=P(-X)Q(X)\) donc par Gauss divise \(P(-X)\). De même \(P(-X)\) divise \(Q(X)\). Ainsi \(P(X)=\lambda P(-X)\). L’analyse des coefficients amène \(\lambda = (-1)^{n}\). Pareil pour \(Q\). Ainsi \(P\) et \(Q\) sont tous deux pairs ou tous deux impairs. Le cas impair est exclu car alors \(0\) est racine à la fois de \(P\) et \(Q\).
Le résultat à établir ensuite est \(F\) impaire si et seulement si \(P\) pair, \(Q\) impair, ou bien \(P\) impair, \(Q\) pair.
Exercise 285
Soit \(x_1,, \ldots, x_n\) des complexes distincts et
Calculer
Solution to Exercise 285
On regarde la fraction rationnelle \(F = \frac{P''}{P}\). Sa DES est donnée par
De là \(xF(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{\longrightarrow} S\). Or \(XP''(X)\) est de degré strictement inférieur à celui de \(P\) donc \(XF \underset{+\infty}{\longrightarrow} 0\). De là \(S=0\).
Exercise 286
Soit \(P \in \R[X]\) unitaire de degré \(n\), et \(Q = \prod_{k=0}^n (X-k)\). Calculer \(S = \sum_{k=0}^n \frac{P(k)}{\prod_{i \neq k}(k-i)}\) et en déduire l’existence d’un \(k \in [\![0,n]\!] \) tel que \(|P(k)| \geq \frac{n!}{2^n}\).
Solution to Exercise 286
DES de \(\frac{P}{Q}\) pour en déduire \(S = \underset{x\rightarrow +\infty}{\lim}\frac{xP}{Q} = 1\). Puis si aucun \(k\) ne vérifie l’inégalité, \(S < \frac{1}{2^n}\sum \frac{n!}{k!(n-k)!} = 1\).
Exercise 287 (théorème de Gauss-Lucas])
Soit \(P \in \C[X]\) non constant. Montrer que les racines de \(P'\) appartiennent à l’enveloppe convexe des racines de \(P\).
Soit \(P \in \C[X]\) non constant, et soit \(H\) un demi-plan de \(\C\) tels que \(0 \in P'(H)\). Montrer que \(P(H) = \C\).
Retrouver le thèorème de D’Alembert-Gauss.
Solution to Exercise 287 (théorème de Gauss-Lucas])
On considère la fraction rationnelle \(\frac{P'}{P}\), de DES \(\sum \frac{\alpha_k}{X-x_k}\), où les \(x_k\) sont les racines de \(P\) et \(\alpha_k\) leur multiplicité. Soit \(x\) une racine de \(P'\) qui n’est pas aussi une racine de \(P\). On écrit
\[\begin{align*} 0 &= \sum_k \frac{\alpha_k}{x-x_k} \\ 0 &= \sum_k \overline{(x - x_k)}\frac{\alpha_k}{|x-x_k|^2}\\ 0 &= \sum_k (x - x_k)\frac{\alpha_k}{|x-x_k|^2}\\ x &= \sum_k \frac{\lambda_k}{\sum_i \lambda_i} x_k \end{align*}\]où les \(\lambda_k = \frac{1}{|x-x_k|^2}\) sont compris entre \(0\) et \(1\).
Soit \(z\in \C\). On considère \(P_z = P-z\). \(P_z\) vérifie les mêmes hypothèses que \(P\). Si \(P_z\) ne s’annule pas sur \(H\), alors l’enveloppe convexe des racines de \(P_z\) est incluse dans \(\C \setminus H\) et donc les racines de \(P'_z\) le sont aussi. Cela étant exclu par hypothèse, \(P_z\) s’annule sur \(H\), donc \(P\) atteint \(z\) sur \(H\). Cela conclut.
Récurrence sur le degré. Le cas d’initialisation se fait à la main (et est, au passage, trivial).