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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Équations différentielles

Exercise 216

Soit \(a \in \R^*\) et \(f \in \mathcal{C}^0(\R,\R)\), \(T\)-périodique. Montrer que l’équation \(y'+ay=f\) admet une unique solution qui soit \(T\)-périodique.

Solution to Exercise 216

La méthode de la variation des constantes amène

\[\begin{equation*} y(x) = e^{-ax}(K + \int_{0}^x e^{at}f(t)dt) \end{equation*}\]

Avec le changement de variable \(s=t-T\) pour \(y(x-T)\) on trouve

\[\begin{equation*} y(x)-y(x-T) = e^{-xT} (K + \int_0^T e^{aT}f(t)dt) \end{equation*}\]

Ainsi \(y\) est \(T\)-périodique si et seulement si \(K = -\int_0^T e^{aT}f(t)dt\).

Exercise 217

Trouver les solutions \(\mathcal{C}^2\) sur \(\R\) de l’équation

\[\begin{equation*} y'' + y = \max(e^x,1) \end{equation*}\]

vérifiant \(y(0)=y'(0)=0\)

Solution to Exercise 217

Sur \(\R^+\) la solution générale est \(A\cos(x)+B\sin(x)+\frac{e^x}{2}\) d’où pour respecter les conditions au bord \(y_{| \R^+} = \frac{1}{2}(e^x-cos(x)-sin(x))\). Sur \(\R^-\) la solution générale est \(A\cos(x)+B\sin(x)+1\) d’où pour respecter les conditions au bord \(y_{| \R^-} = 1-\cos(x)\). On vérifie enfin le bon raccord \(y''(0)=0\).

Exercise 218

Résoudre \(y' = |y-t|\).

Solution to Exercise 218

Là où \(y \geq t\) on a \(y\) de la forme \(t+1+Ke^t\). Là où \(y \leq t\), on a \(y\) de la forme \(t-1+Ke^{-t}\). On remarque que dans tous les cas, \(y(t)-t\) s’annule au plus une fois sur \(\R\). Il ne peut donc y avoir au plus qu’un point de raccord. Ainsi trois situations se présentent

1. si \(y \leq t\) pour tout \(t\), on a \(y = x - 1 - Ke^{-x}\) avec \(K \geq 0\)

2. si \(y \geq t\) pour tout \(t\), on a \(y = x + 1 + Ke^x\) avec \(K \geq 0\)

3. sinon \(y\) s’annule une seule fois, mettons en \(t_0\), et alors \(\forall t > t_0, \; y(t)=t+1-e^{t-t_0}\) et \(\forall t \geq t_0, \; y(t) = t-1 + e^{t_0-t}\).

Exercise 219

Soit \(f \in \mathcal{C}^1(\R^+, \R)\) telle que \(f'+f\) bornée sur \(\R^+\). Montrer que \(f\) est bornée.

Solution to Exercise 219

Soit \(z = f' +f\). On écrit la solution générale de cette équation différentielle avec la variation de la constante. Il est alors évident que \(f\) est bornée.

Exercise 220

Soit \(\lambda \in \R\). Trouver les fonctions dérivables de \(\R\) dans \(\R\) vérifiant

\[\begin{equation*} f'(x) = f(\lambda - x) \end{equation*}\]

Solution to Exercise 220

\(f\) est \(\mathcal{C}^2\) et vérifie \(f'' + f = 0\). Cela conduit à la solution générale \(f = A\sin(x + \phi)\). La condition \(f'(x) = f(\lambda - x)\) impose alors \(\frac{\pi}{2} - \phi = \lambda + \phi \mod{2\pi}\). et finalement \(f = A\sin(x + \frac{\pi}{4} - \frac{\lambda}{2})\).

Exercise 221

Soit \(p \geq q\) deux fonctions de \(\R\) dans \(\R\). Soit \(f\) une solution de \(y'' + py = 0\) et \(g\) une solution de \(y'' + qy = 0\). Montrer que \(f\) s’annule entre deux zéros de \(g\).

Solution to Exercise 221

Soit \(a<b\) deux zéros consécutifs de \(g\). On suppose par l’absurde que \(f\) ne s’annule pas sur \([a,b]\). Quitte à changer \(f\) en \(-f\) on peut supposer que \(f\) est strictement positive sur cet intervalle. De même on suppose que \(g\) est strictement positive sur \(]a,b[\). En particulier \(g'(a) > 0\) et \(g'(b) < 0\). Considérons alors le wronskien \(\phi = fg'-f'g\). \(\phi\) est dérivable et \(\phi' = fg''-f''g = fg(p-q) \geq 0\). Or \(\phi(a) \geq 0\) et \(\phi(b) \leq 0\). Par croissance de \(\phi\) il vient \(\phi_{|[a,b]}=0\). De là \(\frac{g}{f}\) est constante sur \([a,b]\) et vaut \(0\) en \(a\) donc sur \([a,b]\). Absurde !

Exercise 222

Trouver les fonctions deux fois dérivables de \(\R\) dans \(\R\) vérifiant \(\forall x \in \R\),

\[\begin{equation*} f''(x)-10f'(x)+29f(x) = 0 \end{equation*}\]

Solution to Exercise 222

Le discrimant du polynôme caractéristique vaut \(-16\). Les racines du polynôme sont donc \(\lambda_1 = 5-2i\) et \(\lambda_2 = 5+2i\). Les solutions de l’équation sont donc

Exercise 223

Considérons l’équation différentielle \(y'' + y = P\) où \(P\) est un polynôme. Montrer que cette équation admet une unique solution polynômiale et expliciter cette solution. En déduire les solutions générales de l’équation.

Solution to Exercise 223

L’unicité vient de ce que \(\phi : Q \rightarrow Q''+Q\) est injective. On vérifie que \(x \mapsto \sum \limits_{k=0}^n (-1)^k P^{(2k)}(x)\) est solution. La solution générale s’obtient en ajoutant la forme générale d’une solution à l’équation homogène.

Plus de détails : Unicité Il s’agit de prouver l’injectivité de \(\phi : Q \mapsto Q + Q''\). On peut par exemple remarquer que \(\phi\) est un endormorphisme de l’espace des polynôme \(\C[X]\), et qu’il suffit donc de regarder son noyau. Un argument sur le degré permet de conclure. Existence On veut ici trouver une solution explicite \(Q\) avec

\[\begin{align*} Q + Q'' = P \end{align*}\]

Une approche peut consister comme suit. On commence par \(Q\) en fonction du reste. On écrit donc \(Q = P - Q''\), et on cherche à se débarasser de \(Q''\). En dérivant deux fois : \(Q^{(2)} = P^{(2)} - Q^{(4)}\). Et on procède récursivement pour faire disparaître le terme en \(Q^{(k)}\) à droite qui nous embête :

\[\begin{align*} Q &= P - Q^{(2)} \\ &= P - P^{(2)} + Q^{(4)} \\ &= P - P^{(2)} + P^{(4)} - Q^{(6)} \\ & \ \, \vdots \\ \end{align*}\]

Cela fournit la solution explicitée plus haut.

Exercise 224

Résoudre l’équation différentielle \(y'''-3y''+y'-3y = 0\)

Solution to Exercise 224

\(z=y'-3y\) vérifie \(z'' + z = 0\). De là \(z= A\cos(t) + B \sin(t)\). On résoud pour \(y\) à partir de là.

Exercise 225

Soit \(y \in C^2(\R_+^*,\R)\) une solution de l’équation \((E) \; : \; x^2y''-y=x\). Montrer que \(z=y(e^t)\) vérifie une certaine équation différentielle. En déduire la solution générale pour \((E)\).

Solution to Exercise 225

\(z' = e^ty'(e^t)\) puis

\[\begin{align*} z'' &= e^{2t} y''(e^t) + e^ty'(e^t) \\ &= x^2y''(x) + z' \\ &= e^t + z + z' \end{align*}\]

Et la résolution pour \(z\) est classique.

Exercise 226 (lemme de Gronwall)

Soit \(f : \R_+ \rightarrow \R\) et \(g : \R_+ \rightarrow \R_+\) continues et soit \(A \geq 0\), tels que

\[\begin{equation*} \forall x \in \R_+^*, \quad f(x) \leq A + \int_0^x f(t)g(t)dt \end{equation*}\]

Montrer que

\[\begin{equation*} \forall x \in \R_+^*, \quad f(x) \leq A\exp{\int_0^x g(t)dt} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 226 (lemme de Gronwall)

On pose \(F(t) = A + \int_0^x f(t)g(t)dt\). On a

\[\begin{align*} \frac{f}{F} \leq 1 &\Rightarrow \frac{fg}{F} \leq g \\ &\Rightarrow \ln(F)' \leq g \\ &\Rightarrow \ln(F(x))-\ln(F(0)) \leq \int_0^x g(t)dt \\ &\Rightarrow F(x) \leq A\int_0^xg(t)dt \\ &\Rightarrow f \leq A\int_0^x g(t)dt \end{align*}\]

Exercise 227

Soit \(a,b \in \R \rightarrow \R\) continues et \((E) \; : \; y''= ay' + by\), et \(y_0\) une solution non nulle de \((E)\).

1. Montrer que les zéros de \(y_0\) sont isolés.

2. Montrer que les zéros de \(y_0\) sont en nombre fini sur tout segment.

3. Soit \(y_1\) une solution de \((E)\). Soit \(x_0<x_1\) deux zéros de \(y_0\). Montrer que si \(y_1(x_0) = 0\), alors \(y_0\) et \(y_1\) sont liés, et sinon \(y_1\) s’annule sur \(]y_0, y_1[\).

Exercise 228

Résoudre l’équation fonctionnelle suivante d’inconnue une fonction \(f\) dérivable.

\[\begin{equation*} \forall x,y \in \R, \quad f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x) \end{equation*}\]

Exercise 229

Déterminer les fonctions \(f : \R \rightarrow \R\) continues telles que \(x \mapsto f(x) - \int_0^x tf(t) \; dt\) est constante.

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