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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Études locales et asymptotiques

Exercise 198

Déterminer les \(\lambda \in \R\) tels que \(\sin(\lambda x) \underset{+\infty}{=} o(\sin(x))\)

Solution to Exercise 198

Si \(\lambda \neq 0\), \(\sin(\lambda x)^{-1}(\{1\})\) est non majoré, donc on nie le petit \(o\) avec \(\varepsilon = \frac{1}{2}\).

Exercise 199

Soit \(a, b >0\). Déterminer un équivalent de \(\ln(\ln(ax + b)) - \ln(\ln(x))\) en \(+\infty\).

Solution to Exercise 199

\[\begin{align*} \ln(\ln(ax+b)) &= \ln(\ln(ax)+\ln(1+\frac{b}{ax})) \\ &= \ln(\ln(ax))+\ln(1+\frac{\frac{b}{ax}-\frac{b^2}{2(ax)^2}}{\ln(a)+\ln(x)}) \\ &= \ln(\ln(x))+\ln(1+\frac{\ln(a)}{\ln(x)})+o() \end{align*}\]

Exercise 200

Posons \(f_0 : x \mapsto 1-x\) et pour tout \(n\in \N\),

\[\begin{equation*} f_{n+1} = \frac{1}{2-f_n} \end{equation*}\]

Déterminer le DL en 0 à l’ordre \(m \in \N\) de \(f_n\).

Solution to Exercise 200

On remarque que \(f_n\) est une homographie. On écrit donc

\[\begin{equation*} f_n =\frac{a_n x -b_n}{c_n x -d_n} \end{equation*}\]

ce qui conduit à deux systèmes de deux relations de récurrence mutuellement récursives. On résoud pour trouver \(a_n = n-1\), \(c_n = n\) et \(b_n = d_n = -1\). De là le développement à l’ordre \(m\)

\[\begin{equation*} f_n(x) \underset{0}{=} 1 + \sum_{k=1}^m (-1)^kn^{k-1}x^k + o(x^m) \end{equation*}\]

Exercise 201

Soit \(\alpha > 0\). Trouver une condition nécessaire et suffisante sur \(\alpha\) pour que

\[\begin{equation*} e^{(x+1)^{\alpha}} \underset{+\infty}{\sim} e^{x^{\alpha}} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 201

\[\begin{align*} e^{(x+1)^{\alpha}} &= e^{x^{\alpha}(1+\frac{\alpha}{x}+o(\frac{1}{x}))} \\ &= e^{x^{\alpha}} e^{\frac{\alpha}{x^{1-\alpha}}+o(\frac{1}{x^{1-\alpha}})} \end{align*}\]

D’où la condition \(\alpha < 1\).

Exercise 202

Trouver \(a, b \in \R\) tels que

\[\begin{equation*} a\sin(x)+b\tan(x) \underset{0}{=} x + o(x^5) \end{equation*}\]

Solution to Exercise 202

\[\begin{align*} \sin(x) &\underset{0}{=} x - \frac{x^3}{3} + o(x^4) \\ \tan(x) &\underset{0}{=} x + \frac{x^3}{3} + o(x^4) \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} a+b &= 1 \\ -a+2b &= 0 \\ \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} a &= \frac{2}{3} \\ b &= \frac{1}{3} \\ \end{cases} \\ \end{align*}\]

Exercise 203

Déterminer le DL à l’ordre \(8\) en \(0\) de

\[\begin{equation*} (\cos(x) -1)(\sh(x)-x) - (\ch(x)-1)(\sin(x)-x) \end{equation*}\]

Solution to Exercise 203

\[\begin{align*} (\cos(x) -1)(\sh(x)-x) &= (-\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5))(\frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+o(x^6)) \\ (\ch(x)-1)(\sin(x)-x) &= (\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^5))(\frac{x^3}{3!} - \frac{x^5}{5!}+o(x^6)) \\ (\cos(x) -1)(\sh(x)-x) - (\ch(x)-1)(\sin(x)-x) &= -\frac{x^5}{6} + o(x^8) \\ \end{align*}\]

Exercise 204

Trouver la limite en \(+\infty\) de

\[\begin{equation*} \left ( \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \right )^{x\ln(x)} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 204

\[\begin{align*} \ln(\ln(x+1))-\ln(\ln(x)) &= \ln(\ln(x) + \frac{1}{x} + o(\frac{1}{x})) - \ln(\ln(x)) \\ &= \ln(1 + \frac{1}{x\ln(x)} + o(\frac{1}{x\ln(x)})) \\ &= \frac{1}{x\ln(x)} + o(\frac{1}{x\ln(x)}) \\ \left ( \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)} \right )^{x\ln(x)} &= e^{x\ln(x)(\frac{1}{x\ln(x)} + o(\frac{1}{x\ln(x)}))} \\ &= e^{1+o(1)} \\ \underset{+\infty}{\longrightarrow} e \end{align*}\]

Exercise 205

Déterminer le DL à l’ordre \(5\) en \(0\) de

\[\begin{equation*} \int_0^x \frac{\sin(t)}{t}dt \end{equation*}\]

Solution to Exercise 205

\(x - \frac{x^3}{18}+\frac{x^5}{4\times 5!} + o(x^5)\)

Exercise 206

Déterminer le DL à l’ordre \(5\) en \(0\) de

\[\begin{equation*} (\cos(x))^2 \end{equation*}\]

Solution to Exercise 206

\(1 - x^2 + \frac{x^4}{3} + o(x^5)\)

Exercise 207

Déterminer le DL à l’ordre \(3\) en \(0\) de

\[\begin{equation*} \frac{\ln(1+x)}{\sin(x)} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 207

\(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} + o(x^3)\)

Exercise 208

Trouver une relation de récurrence sur les coefficients du DL de

\[\begin{equation*} f : x \mapsto e^{\arctan(x)} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 208

On dérive une fois \(f\) pour trouver la relation \(f'(x) = (1+x^2)f(x)\). Cette relation se réécrit comme une relation de récurrence sur les coefficients :

\[\begin{equation*} (k+2)a_{k+2} = a_{k+1} + ka_k \end{equation*}\]

en utilisant l’unicité du développement limité.

Exercise 209

Soit \(f : x \mapsto x e^{x^2}\). Montrer que \(f\) est bijective de \(\R\) dans \(\R\). Déterminer un développement limité à l’ordre 6 en \(0\) de \(f^{-1}\).

Solution to Exercise 209

La bijectivité est évidente. Remarquons que la fonction \(f\) est impaire. Ainsi \(-f^{-1}(f(x))= -x = f^{-1}(f(-x)) = f^{-1}(-f(x))\) donc par surjectivité de \(f\) on a pour tout \(t \in \R\), \(-f^{-1}(t) = f^{-1}(-t)\), bref \(f^{-1}\) est impaire et son développement limité en 0 s’écrit donc

\[\begin{equation*} f^{-1}(x) \underset{0}{=} a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + o(x^6) \end{equation*}\]

On injecte alors le DL de \(f\) et on identifie au DL de l’identité pour finalement trouver

\[\begin{equation*} f^{-1}(x) \underset{0}{=} x - x^3 - \frac{7}{2} x^5 + o(x^6) \end{equation*}\]

Exercise 210

Montrer que \(x + \ln(x) = n\) admet une unique solution \(x_n\) dans \(\R\) et donner un développement asymptotique à trois termes de \(x_n\).

Solution to Exercise 210

Existence et unicité sont évidentes. On remarque que \(x_n \leq n\) et que \(x_n \rightarrow +\infty\). Ensuite il s’agit de développement et de réinjections successives dans l’équation \(x_n = n - \ln(x_n)\) pour trouver

\[\begin{equation*} x_n = n -\ln(n) + \frac{\ln(n)}{n} + o(\frac{\ln(n)}{n}) \end{equation*}\]

Exercise 211

À l’aide d’une étude asymptotique de \(x \mapsto \sqrt{x^4 + x^3 + 1}\), montrer que \(\{ (x, y) \in \Z \; | \; y^2 = x^4 + x^3 + 1 \}\) est fini.

Solution to Exercise 211

On obtient le développpement \(\sqrt{x^4 + x^3 + 1} \underset{+\infty}{=} x^2 + \frac{x}{2} - \frac{1}{8} + \frac{1}{72x} + o(\frac{1}{x})\). De là pour \(n\) assez grand, \(| \frac{1}{72n} + o(\frac{1}{n}) | < \frac{1}{8}\). De là l’ensemble est majoré et dans \(\Z^2\) donc fini.

Exercise 212

Montrer pour \(n \in \N\) que l’équation

\[\begin{equation*} P_n(x) = x^n + \ldots + x^2 + x -1 = 0 \end{equation*}\]

admet une unique solution réelle positive \(u_n\). Trouver un développement asymptotique à deux dermes de \(u_n\).

Solution to Exercise 212

L’unicité vient par stricte croissance sur \(\R^+\). L’existence suit du TVI, de la valeur en \(0\) et de la valeur en \(1\) de \(P_n\). Ensuite \(x_n\) est strictement décroissante car à \(x > 0\) fixé, \((P_n(x))_n\) strictement croissante. Ainsi \(x_n\) converge, mettons vers \(l \in [0, 1[\). On a donc d’une part \(\forall n \in \N, \; P_n(l) < 0\) i.e. \( 1-l^n< 2(1-l)\) donc \( 1 \leq 2(1-l)\) et d’autre part pour tout \(\lambda > l\) il existe un rang tel que \(P_n(\lambda) > 0\) d’où \(\frac{1}{1-\lambda} > 2\). Bref nécessairement \( 1 = 2(1-l)\) puis \(l = \frac{1}{2}\). Par ailleurs on peut toujours écrire \(u_n^{n+1}-2u_n +1= 0\). On étudie \(\varepsilon_n = u_n - \frac{1}{2}\). On a

\[\begin{equation*} u_n^{n+1}-2\varepsilon_n = 0 \end{equation*}\]

d’où pour tout \(\alpha > 0\), \(\varepsilon_n = o((\frac{1}{2}+\alpha)^n)\). En particulier \(n\varepsilon_n = o(1)\). On écrit alors

\[\begin{align*} 2\varepsilon_n &= (\frac{1}{2} + \varepsilon_n)^{n+1} \\ &= e^{(n+1)(\ln(\frac{1}{2}) + \ln(1+2\varepsilon_n)))} \\ &= \frac{1}{2^{n+1}}e^{2(n+1)\varepsilon_n + o(n\varepsilon_n)} \\ &= \frac{1}{2^{n+1}}(1+o(1)) \end{align*}\]

Et finalement \(u_n = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{n+2}} + o(\frac{1}{2^n})\).

Exercise 213

Trouver \(a, b \in \R\) tels que \(\cos(x)-\frac{1-ax^2}{1-bx^2} = o(x^n)\) avec \(n\) maximal.

Solution to Exercise 213

On trouve \(a=-\frac{5}{12}, b =\frac{1}{12}\). On écrit le DL ce \(\cos\) :

\[\begin{equation*} cos(x) = 1 -\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 + o(x^6) \end{equation*}\]

Puis celui de \(\frac{1-ax^2}{1-bx^2}\) (après calculs):

\[\begin{equation*} \frac{1-ax^2}{1-bx^2} = 1 + (a-b)x^2 - b(a-b)x^4 + b^2(a-b)x^6 + o(x^6) \end{equation*}\]

On a alors

\[\begin{equation*} \cos(x)-\frac{1-ax^2}{1-bx^2} = o(x^n) = (-\frac{1}{2} - (a-b))x^2 + (\frac{1}{24} + b(a-b)) x^4 + (-\frac{1}{720}-b^2(a-b))x^6 + o(x^6) \end{equation*}\]

Ce qui conduit aux valeurs annoncées.

Exercise 214

Soit \(f \in \C^2(\R)\) telle que \(\forall x, y \in \R^2\),

\[\begin{equation*} f(x-y)f(x+y) \leq f(x^2) \end{equation*}\]

Montrer que \(\forall x \in \R\),

\[\begin{equation*} f(x)f''(x) \leq f'(x)^2 \end{equation*}\]

Solution to Exercise 214

On applique Taylor-Lagrange à l’ordre 2 sur \(f(x-y)\) et \(f(x+y)\), puis on multiplie les égalités pour obtenir

\[\begin{equation*} f(x-y)f(x+y)-f(x^2) = y^2(f(x)f''(x) - f'(x)^2) + o(y^2) \end{equation*}\]

Puis pour \(y\) suffisamment petit, \(f(x-y)f(x+y)-f(x^2)\) est du même signe que \(f(x)f''(x) - f'(x)^2\).

Exercise 215

Déterminer

\[\begin{equation*} \inf \{ \sup_{[0,1]} |f''| \; | \; f \in \C^2([0,1], \R), \;f(0)=0, \; f(1)=1, \; f'(0)=f'(1) = 0\} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 215

Soit \(\alpha\) la réponse. Soit \(f\) dans l’ensemble décrit. On peut écrire \(f(1/2) = f(1-1/2) = f(0+1/2)\). On écrit les deux égalités de Taylor-Lagrange correspondantes

\[\begin{align*} f(1/2) &= 1 + \frac{f''(c_1)}{8} \quad &c_1 \in ]1/2, 1[ \\ f(1/2) &= \frac{f''(c_2)}{8} \quad&c_2 \in ]0, 1/2[ \\ \end{align*}\]

Selon la position de \(f(1/2)\) par rapport à \(1/2\), cela apporte \(\alpha \geq 4\). Pour l’égalité, on prend l’exemple de \(x \mapsto 2x^2\) entre \(0\) et \(\frac{1}{2}\), et \(1-2(x-1)^2\) entre \(1/2\) et \(1\) (on obtient cet exemple en intégrant deux fois \(4\) sur \([0,1/2]\) et \(-4\) sur \([1/2, 1]\)).

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