Espaces vectoriels
Espaces vectoriels¶
Exercise 314
Montrer que la commutativité de la loi \(+\) est une conséquence des autres axiomes de la structure d’espace vectoriel.
Solution to Exercise 314
Soit \(u,b\) deux vecteurs. On a
d’où \(u+v = v+u\).
Exercise 315 (lemme de Schur)
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(u \in \L(E)\). On suppose que \(\forall x \in E, \; \exists \lambda_x \in \mathbb{K} \; u(x) = \lambda_xx\). Montrer que \(u\) est une homothétie.
Solution to Exercise 315 (lemme de Schur)
Soit \(x,y \in E\) non nuls. On va montrer que \(\lambda_x = \lambda_y\). S’il existe \(\mu \in \mathbb{K}\), \(x=\mu y\), alors on a
d’où \(\lambda_x=\lambda_y\). Sinon on regarde \(z=x+y\).
Et il suit de la liberté de \((x,y)\) que \(\lambda_x=\lambda_z=\lambda_y\).
Exercise 316
Déterminer \(\alpha\) tel que
soit un sous espace vectoriel de \(\R^2\).
Solution to Exercise 316
Soit \(x\) non nul fixé. \(x^2 + \alpha xy + y^2 = 0\) admet une solution réelle si et seulement si \(\alpha^2 \geq 4\). Ainsi, pour \(\alpha \in ]-2,2[\), \(F_{\alpha} = \{ (0,0) \}\) convient. On vérifie que \(|\alpha| = 2\) convient également. Puis si \(\alpha^2 > 4\), il existe deux solutions distinctes \(y_1, y_2\) à \(x\) non nul fixé. Si \(F_{\alpha}\) est un espace vectoriel, alors \((x-x, y_1-y_2 ) \in F_{\alpha}\)mais cela est absurde.
Exercise 317
Soit \(F\) un sous-espace vectoriel strict de \(E\). Déterminer \(\Vect(E \setminus F)\).
Solution to Exercise 317
Soit \(a \in E \setminus F\) non nul. Soit \(x\in E\). Si \(x \in E \setminus F\), alors \(x \in \Vect(E \setminus F)\). Sinon \(x = x+(a-a) = (x+a)-a\). Mais \(x+a \notin F\) (sans quoi \(a \in F\)) et \(-a \notin F\), donc \(x \in \Vect(E \setminus F)\). Bref \(\Vect(E \setminus F) = E\).
Exercise 318
Soit \(E = \C^0(\R,\R)\). Pour \(a \in \R\) on note \(E_a = \{f \in E \; | \; f(a)=0 \}\). Montrer que pour tout \(a\), \(E_a\) est un sous-espace vectoriel de \(E\). Soit \(a\neq b\). Que dire de \(E_a + E_b\)?
Solution to Exercise 318
\(E_a+E_b=E\).
Exercise 319
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(F\) un sous-espace non trivial de \(E\). Déterminer l’ensemble des endomorphismes s’annulant sur le complémentaire de \(F\).
Solution to Exercise 319
Soit \(u\) un tel endomorphisme. \(Ker(u)\) est un sous-espace vectoriel s’annulant sur \(E\setminus F\), donc sur \(\Vect(E \setminus F)\). Or avec Exercise 317, cet ensemble est \(E\) lui-même. Donc seul l’endomorphisme nul convient.
Exercise 320
Soit \(E,F\) deux \(\R\)-espaces vectoriels, \(u \in \L(E,F)\) et \(V,W\) deux sous-espaces vectoriels de \(E\). Montrer
Solution to Exercise 320
Le sens retour est immédiat. Montrons le sens direct. Soit \(v \in V\). Il existe \(w \in W\) tel que \(u(v)=u(w)\), i.e. \(v-w \in Ker(u)\). Il suit \(v = w+z\) avec \(z \in Ker(u)\), d’où le résultat.
Exercise 321 (Suite des noyaux itérés)
Soit \(E\) un espace vectoriel, \(u\in \L(E)\) et \(n \in \N\) tel que \(Ker(u^n)=Ker(u^{n+1})\). Montrer que pour tout \(m \geq n\), \(Ker(u^n)=Ker(u^m)\)
Voir Exercise 329
Solution to Exercise 321 (Suite des noyaux itérés)
Par récurrence, \(x \in Ker(u^{n+k+1}) \Leftrightarrow u^k(x) \in Ker(u^{n+1}) \Leftrightarrow u^k(x) \in Ker(u^n) \Leftrightarrow x \in Ker(u^{n+k})\)
Soit \((d_k)\) la suite des dimensions de \(Ker(u^k)\). On remarque \(Ker(u^k) \subset Ker(u^{k+1})\), ce qui se traduit par le fait que \((d_k)\) est croissante. De plus \(d_n = n\), et pour tout \(m \geq n\), \(d_m=n\), et pour tout \(m<n\), \(d_m < n\). Ensuite, si \((d_k)\) n’est pas strictement croissante sur \([\![0, n-1]\!]\), avec la question 1 \((d_k)\) est stationnaire et n’atteint pas \(n\), ce qui est absurde. Donc \((d_k)\) est strictement croissante sur \([\![0, n-1]\!]\), à valeur dans \([\![0, n-1]\!]\). Il n’y a qu’une seule possibilité : \(d_k = k\) pour \(k \leq n\).
Exercise 322
Soit \(E\) un espace vectoriel et \(\mathcal{F} = (F_i)_{i \in I}\) une famille de sous-espace vectoriels de \(E\). On suppose \(\mathcal{F}\) filtrante, i.e. \(\forall i,j, \; \exists k\) tel que \(F_i \cup F_j \subset F_k\). Montrer que \(\bigcup_{i \in I} F_i\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).
Solution to Exercise 322
Il contient \(0\). Puis soit \(x,y \in \bigcup_{i \in I} F_i\). Il existe \(i,j\) tels \(x \in F_i\) et \(y \in F_j\). De là \(x,y \in F_k\) puis \(x + \alpha y \in F_k \subset \bigcup_{i \in I} F_i\). Cela conclut.
Exercise 323
Montrer que si un \(\K\)-espace vectoriel \(E\) est réunion d’une famille finie de sous-espaces différents de \(E\), alors le corps \(\K\) est fini.
Solution to Exercise 323
Soit \(E_1, \ldots, E_n\) des sous-espaces propres de \(E\) de réunion \(E\), et (quitte à éliminer les redondances) tels qu’aucun d’entre eux ne soit inclus dans la réunion des autres. Soit alors \(u\) un vecteur de \(E_1\) qui ne soit pas dans la réunion des autres, et \(v \notin E_1\). On regarde le sous-espace affine \(v + \K u\). Il contient au plus un élément dans chaque \(E_i\), et est disjoint de \(E_1\), donc \(\K\) contient au plus \(n-1\) éléments.
Exercise 324
Soit \(E\) l’espace vectoriel des fonctions de \([0,1]\) dans \(\R\) et \(p_a : x \mapsto |x-a|\). Déterminer le sous-espace vectoriel engendré par les \(p_a\) pour \(a \in [0,1]\).
Solution to Exercise 324
Clairement ce sous-espace est inclus dans l’ensemble \(\mathcal{A}\) des fonctions affines par morceaux continues, avec un nombre fini de morceaux. Montrons que le sev recherché est exactement \(\mathcal{A}\). On représente une fonction \(f\) de \(\mathcal{A}\) par les \(n\) points \((a_i, f(a_i))\) de rupture de pente, ainsi que \(f(0)\) et \(f(1)\). On raisonne par réccurrence sur \(n\).
Pour \(n=1\), on résoud un système linéaire à trois inconnues.
Pour \(n \geq 2\), on peut retirer la fonction \(f\) correspondant aux \(n-1\) premiers points de représentation, puis utiliser le cas \(n=2\).
Exercise 325
Montrer que deux formes linéaires de même noyau sont colinéaires
Solution to Exercise 325
Il s’agit de trouver une combinaison linéaire annulant \(\phi\) et \(\psi\). Fixons \(a\) et remarquons astucieusement pour \(x \in E\) que \(\phi(x)\phi(a) - \phi(x)\phi(a) = 0\), soit \(x\phi(a) - \phi(x)a \in Ker(\phi)\) donc \(x\phi(a) - \phi(x)a \in Ker(\psi)\), i.e. \(\psi(a)\phi - \phi(a)\psi = 0\). Il suffit alors de choisir \(a\) qui n’annule pas une des deux fonctions. Si cela n’est pas possible, elles sont toutes deux nulles donc a fortiori colinéaires.
Exercise 326
Exhiber un endomorphisme d’un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis surjectif mais non injectif.
Solution to Exercise 326
Les tapis roulants de \(\R^{\N}\)
Exercise 327
Montrer que le produit de nilpotent n’est pas nécessairement nilpotent.
Solution to Exercise 327
Les tapis roulants de \(\R^n\).
Exercise 328
Soit \(n \geq 1\) et \(\K\) un corps fini de cardinal \(q \geq 2\)
Déterminer le nombre de droites de \(\K^n\).
Déterminer le nombre de plans de \(\K^n\). (CORRECTION MISSING)
Solution to Exercise 328
Notons \(\mathcal{D}\) l’ensemble des droites. Une droite est de la forme \(\K x\) avec \(x\) un vecteur non nul. Il est naturel de regarder
\[\begin{align*} \phi : \begin{cases} K^n \setminus \{0\} &\rightarrow \mathcal{D} \\ x &\mapsto \K x \end{cases} \end{align*}\]L’application \(\phi\) est par construction surjective. Regardons le nombre d’antécédents d’un éléments de \(\mathcal{D}\).
\[\begin{align*} \phi(x) = \phi(y) &\Longrightarrow \K x = \K y\\ &\Longrightarrow y = 1y \in \K x\\ &\Longrightarrow \exists k \in \K^*, \; y = k x \end{align*}\]Réciproquement, il est évident que \(x = k y\) pour \(k\) non nul implique \(\phi(x) = \phi(y)\). Ainsi tout élément de \(\mathcal{D}\) possède exactement \(q-1\) antécédent par \(\phi\). Ainsi
\[\begin{equation*} |\mathcal{D}| = \frac{|\K^n \setminus \{ 0\}|}{|K^*|} = 1 + q +\ldots + q^{n-1} \end{equation*}\]à faire
Exercise 329
Soit \(E\) de dimension \(n\) et \(u \in \L(E)\) nilpotent d’indice \(n\). On note \(F_k = Ker(u^k)\). Calculer \(d_k=dim(F_k)\) pour tout \(k\).
Solution to Exercise 329
Voir Exercise 321
Exercise 330
Soit \(E,F\) des espaces vectoriels de dimension finie et \(u \in \L(E,F)\). Montrer qu’il existe \(v \in \L(F,E)\) tel que \(u \circ v \circ u = u\).
Exercise 331
Montrer que la famille des fonctions \(x \rightarrow \cos(\lambda x)\) avec \(\lambda \in \R^{+}\) est libre.
Solution to Exercise 331
Ce sont des vecteurs propres de l’application \(f \longmapsto -f''\). Sinon dériver \(n\) fois en \(0\) et faire tendre \(n\) vers \(+ \infty\).
Exercise 332
Même exercice avec \(x \rightarrow \exp(\lambda x)\).
Exercise 333
Soit \(U\) et \(V\) des s.e.v. de \(E\) un espace vectoriel de dimension fini.. Montrer que \(U\) et \(V\) ont un supplémentaire commun si et seulement si \(dim(U) = dim(V)\).
Solution to Exercise 333
Un sens est trivial. On raisonne par récurrence décroissante sur \(dim(U)=dim(V)\). Si \(dim(U)=dim(E)\) c’est fini. On suppose le résultat vrai pour tout sous espace de dimension plus grande que \(k\). Soit \(e \in E \setminus (U \cup V)\). On considère \(U' = U + Vect(e)\) et \(V'=V+Vect(e)\). Par hypothèse de récurrence, il existe \(S\) supplémentaire commun à \(U'\) et \(V'\). De là \(S+Vect(e)\) est supplémentaire commun à \(U\) et \(V\).
Exercise 334
Déterminer le rang de la famille des vecteurs \(X_{i,j} = e_i-e_j \in \R^n\).
Solution to Exercise 334
Il est majoré par \(n\). Il est minoré par \(n-1\) avec les \(X_{1,j}\). Puis on remarque \(X_{j,k} = X_{1,k}-X_{1,j}\). D’où un rang de \(n-1\).
Exercise 335
Soit \(a_0<a_1<\ldots<a_N\).
Montrer que l’espace \(E\) des fonctions continues sur \([a_0,a_N]\) affines par morceaux pour la subdivision \(a_0, \ldots, a_N\) est de dimension \(N+1\).
Déterminer une base de \(E\).
Solution to Exercise 335
Isomorphisme évident avec \(\R^{N+1}\) par \(f \mapsto (f(a_0), \ldots, f(a_N))\).
Exercise 336
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(A\) l’ensemble des sous-espaces vectoriels de \(E\). Déterminer les applications \(f\) de \(A\) dans \(\R\) telles que
Solution to Exercise 336
Remarquons qu’on peut ajouter une constante à \(f\) sans modifier la propriété. On suppose donc \(f(\{0\})=0\). On montre d’abord que les espaces de dimension \(1\) ont même image par \(f\). Soit \(a,b \in E\) non liés. D’après l’exercice Exercise 333, on peut trouver \(S\) supplémentaire à la fois de \(Vect(a)\) et \(Vect(b)\). On a alors \(f(Vect(a)) = f(E)-f(S) = f(Vect(b))\). Notons \(\lambda\) cette image. Par une récurrence immédiate il vient \(f(U) = \lambda dim(U)\). Bref, dans le cas général, \(f(U) = \lambda dim(U) + \mu\) avec \(\lambda, \mu \in \R\).
Exercise 337
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(u \in \L(E)\) nilpotente d’indice \(p\). Notons \(\Phi : v \in \L(E) \mapsto u\circ v - v \circ u\).
Montrer que, pour tout \(n \in \N\), et tout \(v \in \L(E)\),
Montrer que \(\Phi\) est nilpotente et majorer son indice de nilpotence.
Soit \(a \in \L(E)\). Montrer qu’il existe \(b \in \L(E)\) tel que \(a \circ b \circ a = a\).
En déduire l’indice de nilpotence de \(\Phi\).
Solution to Exercise 337
Simple récurrence.
Avec \(n = 2p\), et même \(2p-1\).
Soit \((e_1, \ldots, e_m)\) une base de \(Im(a)\), et \(b_1, \ldots, b_m\) tels que \(a(b_i) = e_i\). Nécessairement \(b_1, \ldots, b_m\) est libre. On choisit \(b\) tel que \(b(b_i)=e_i\), \(b=0\) ailleurs. Ce tel \(b\) convient.
On a \(\Phi^{2p-2}(v) = (-1)^{p-1}{2p-2 \choose p-1} u^{p-1} \circ v \circ u^{p-1}\). Avec \(v\) tel que \(u^{p-1} \circ v \circ u^{p-1} = u^{p-1}\), il suit que \(\Phi\) est d’indice de nilpotence exactement \(2p-1\).
Exercise 338
Soit \(F,G\) deux sous espaces vectoriels de \(\R^n\). Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(u \in GL(\R^n)\) tel que \(u(F)=G\).
Solution to Exercise 338
Même dimension, en envoyant la base de \(F\) sur la base de \(G\).
Exercise 339
Soit \(E\) de dimension \(n\) et \(f \in \L(E)\) un endomorphisme \(n\)-nilpotent. Montrer l’équivalence pour \(g \in \L(E)\)
Solution to Exercise 339
Il est classique de montrer l’existence de \(x\) tel que \((x, f(x), \ldots, f^{n-1}(x))\) est une base de \(E\). On peut donc écrire \(g(x) = \sum_{k=0}^{n-1} a_kf^{k}(x)\). Alors il vient que \(g\) et \(\sum a_kf^k\) coïncident sur \((x, f(x), \ldots, f^{n-1}(x))\) donc sur \(E\). Le sens retour est trivial.
Exercise 340
Soit \(E\) de dimension finie, \(F\), \(G\) deux sev de \(E\) tels que \(F+G=E\). Déterminer la dimension du sev de \(\L(E)\) composé des \(u\) tels que \(u(F)\subset F\) et \(u(G)\subset G\). Et si on impose \(u\) bijectif ?
Solution to Exercise 340
Isomorphisme avec \(\L(F\cap G, F \cap G) \times \L(F', F) \times \L(G',G)\) où \(F'\) supplémentaire de \(F\cap G\) dans \(F\) et \(G'\) de même. Si \(F',G',F\cap G\) sont de dimension respective \(r,s,t\), la dimension recherchée est donc \(r(r+t)+s(s+t)+t^2=r^2+t^2+s^2+t(r+s)\).
Exercise 341
Soit \(p\) un projecteur de \(E\). Définissons
Montrer que \(F_1\) et \(F_2\) sont supplémentaires dans \(\L(E)\).
Solution to Exercise 341
Classiquement \(Ker(p)\) et \(Ker(Id-p)\) sont supplémentaires dans \(E\). Ainsi si \(f \in \L(E)\), \(f(x)=f(p(x)+x-p(x))=f(p(x))+f(x-p(x))\) d’où \(F_1+F_2=E\). Si \(f \in F_1 \cap F_2\), alors \(Ker(p)\subset Ker(f)\) et \(Ker(Id-p) \subset Ker(f)\) d’où \(Ker(p)+Ker(Id-p)=E\subset Ker(f)\). Bref \(f=0\).
Exercise 342
Soit \(a, b\) deux scalaires distincts et \(u\in \L(E)\) tels que
Montrer que \(Ker(u-aId)\) et \(Ker(u-bId)\) sont supplémentaires.
Déterminer une expression simple de la projection de \(p\) sur \(Ker(u-aId)\) parallèlement à \(Ker(u-bId)\).
Montrer que \(u = ap + b(Id-p)\). En déduire une expression de \(u^n\) pour tout \(n\).
Solution to Exercise 342
Ils sont trivialement en somme directe. Le lemme des noyaux permet d’obtenir directement le résultat mais ici on se contente de le faire à la main. On a \(P(u)=0\) avec \(P=(X-a)(X-b)=P_1P_2\). De plus \(\frac{P_1}{b-a}+\frac{P_2}{a-b}=1\). Ainsi pour tout \(x\in E, \; x = \frac{u(x)-ax}{b-a}+\frac{u(x)-bx}{a-b}\).
On vérifie immédiatement que \(\frac{u(x)-bx}{b-a}\) convient.
La vérification est immédiate en écrivant \(Id-p=\frac{u-aId}{b-a}\), et on a \(u^n=a^np+b^n(Id-p)\).
Exercise 343
Soit \(p,q\) deux projecteurs sur le même espace (pas forcément parallèles). Soit \(\lambda \in \R\). Montrer \(\lambda p + (1-\lambda)q\) est un projecteur.
Solution to Exercise 343
Il suffit de remarquer que \(p \circ q = q\) et \(q \circ p = p\).
Exercise 344
Soit \(p,q\) deux projecteurs qui commutent. Montrer que \(Ker(p+q)=Ker(p)\cap Ker(q)\).
Solution to Exercise 344
Une inclusion est évidente. Pour l’autre on écrit \(p(x)+q(x)=0\) donc en composant pas \(p\) et \(q\) on \(p(x)+q\circ(p(x))=0\) et \(q(x)+q\circ p(x)=0\). Bref\(p(x)=q(x)=0\).
Exercise 345
Soit \(p,q\) deux projecteurs. Montrer que \(p+q\) est un projecteur si et seulement si \(p \circ q = q \circ p =0\).
Solution to Exercise 345
Un sens est évident. Pour l’autre on a \(p\circ q + q \circ p =0\). En composant une fois par \(p\) à gauche, une autre fois à droite, il vient que \(p \circ q = q \circ p\). Cela conclut facilement.
Exercise 346
Soit \(p\) un projection et \(\lambda \in \mathbb{K}\), \(\lambda \notin \{ 0,1\}\). Montrer que \(p-\lambda Id\) est inversible et calculer son inverse.
Solution to Exercise 346
\(\frac{X^2+X}{\lambda^2-\lambda} -1\) annule \(p-\lambda\).