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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Réduction

Rappel

\(u\) est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal de \(u\) est scindé à racines simples.

Exercise 374

Montrer que pour toute permutation \(\sigma \in \S_n\), la matrice de permutation \(P_{\sigma}\) est diagonalisable.

Solution to Exercise 374

Elle vaut l’identité élevée à une certaine puissance, et tout polynôme \(X^m - 1\) est scindé à racines simples sur \(\C\).

Exercise 375

Soit \(M\) la matrice de Zoro inversée (\(Z\) symétrique, avec des \(1\) sur la diagonale). Calculer les puissances de \(M\). Montrer que \(M\) est semblable à \(Id-e_{1,1}+e_{n,n}\) (matrice diagonale).

Solution to Exercise 375

On regarde le rang de \(M, M-Id, M-2Id\).

Exercise 376

Soit \(u\) un endomorphisme tel que \(u^2\) est diagonalisable. Montrer que \(u\) est diagonalisable si et seulement si \(Ker(u)=Ker(u^2)\).

Solution to Exercise 376

Sens retour. On exhibe \(P=X\prod(X-a_i)\) scindé à racines simples et annulateur de \(u^2\). On pose \(Q =X^2 \prod(X-\sqrt{a_i})(X+\sqrt{a_i})\) et \(Q^* = \frac{Q}{X}\). On regarde

\[\begin{equation*} E=Ker(P(u^2)) &= Ker(Q(u)) \\ &= \oplus_{i} Ker(u^2-a_iI)+Ker(u^2) \\ &= Ker(u)\oplus_{i} Ker(u-\sqrt{a_i}I) + Ker(u+\sqrt{a_i}I) \end{equation*}\]

Donc \(Q^*(u)=0\) et \(Q^*\) est scindé à racines simples : \(u\) est diagonalisable.

Sens aller. On possède une base de vecteurs propres de \(u\), donc stables par \(u^2\).

Exercise 377

Montrer que la famille des \(e^{\lambda x}\) est libre. Même question pour \(\cos(\lambda x)\), \(\lambda>0\).

Solution to Exercise 377

Les voir comme des vecteurs propres.

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