Calculus : intégration, fonctions usuelles¶

Exercise 1

\[\begin{equation*} I = \int_0^1 \frac{xdx}{1+\sqrt{x}} \end{equation*}\]

Exercise 2

\[\begin{equation*} I = \int_0^{\pi/3} \frac{\sin^3(x)dx}{\sqrt{\cos(x)}} \end{equation*}\]

Exercise 3

\[\begin{equation*} I = \int_0^1 \frac{e^{2x}dx}{\sqrt{e^x+1}} \end{equation*}\]

Exercise 4

Soit \(f\) une application continue périodique de \(\R\) dans \(\R\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que les primitives de \(f\) soient périodiques.

Solution to Exercise 4

\(f\) est \(T\)-périodique. Soit \(\lambda = \int_0^T f\). On a \(F(x+nT) = F(x) + n\lambda\). Si \(\lambda \neq 0\), \(F\) est non bornée, continue, donc non périodique. Réciproquement, si \(\lambda = 0\), \(F\) est \(T\)-périodique.

Exercise 5 (Wallis)

Calculer \(W_n = \int_0^{\pi/2} cos^n(x) dx\).

Solution to Exercise 5 (Wallis)

\[\begin{align*} \int_0^{\pi/2}cos^{n+2}(x) dx &= W_n - \int_0^{\pi/2} cos^n(x)sin^2(x) dx \\ &= W_n + \frac{1}{n+1} \left ( [cos_{n+1}sin]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} cos_{n+2}(x)dx \right ) \\ W_{n+2} &= \frac{n+1}{n+2}W_n \end{align*}\]

Leading to

\[\begin{align*} W_{2n} &= \frac{1\times3\times\ldots\times(2n-1)}{2\times4\times\ldots\times2n}W_0 \\ &= \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}W_0 \\ &= \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \frac{\pi}{2} \end{align*}\]

et

\[\begin{align*} W_{2n+1} &= \frac{2\times4\times\ldots\times2n}{3\times5\times\ldots\times(2n+1)}W_1 \\ &= \frac{4^n(n!)^2}{(2n+1)!}\\ \end{align*}\]

Exercise 6

Montrer qu’une fonction \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) se décompose de façon unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

Solution to Exercise 6

\(f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}\) pour l’existence. \(f = p + i\) donne \(f(x)+f(-x) = p(x) + p(-x) = 2p(x)\) pour l’unicité.

Exercise 7

On se donne \(a \in ]0, 2 \pi [\). Calculer \(\prod \limits_{k=0}^n \cos(\frac{a}{2^k})\).

Solution to Exercise 7

On part de \(\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)\) pour avoir

\[\begin{equation*} \sin(2^na) = 2^n\sin(a)\prod_{k=0}^{n-1}\cos(2^ka) \end{equation*}\]

D’où \(\prod \limits_{k=0}^n \cos(\frac{a}{2^k}) = \frac{sin(2^na)}{2^n}\).

Exercise 8

Montrer que dans un triangle ABC, \(\frac{\sin{\hat{a}}}{a}=\frac{\sin{\hat{b}}}{b}=\frac{\sin{\hat{c}}}{c}\).

Solution to Exercise 8

On projette \(C\) pour avoir un segment de longueur \(h\) vérifiant \(\sin(a) = \frac{h}{b}\) et \(\sin(b) = \frac{h}{a}\) d’où le résultat.

Exercise 9

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation

\[\begin{equation*} \arctan(x) + \arctan(2x) = \frac{\pi}{4} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 9

En prenant la tangente on a

\[\begin{align*} \frac{\tan(\arctan(x)) + \tan(\arctan(2x))}{1-\tan(\arctan(x))\tan(\arctan(2x))} &= 1 \\ \frac{3x}{1-2x^2} &= 1\\ 2x^2+3x-1&=0 \\ x = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{4} \end{align*}\]

On note \(x_1 = \frac{-3-\sqrt{17}}{4} < 0\) et \(x_2 = \frac{-3+\sqrt{17}}{4} > 0\). En remontant les implications, on a \(\arctan(x_i) + \arctan(2x_i) = \frac{\pi}{4} \mod{\pi}\).

Remarquons que \(\phi : x \mapsto \arctan(x) + \arctan(2x)\) est négative sur \(\R_-\), positive sur \(\R_+\), et comprise entre \(-\pi\) et \(\pi\). Ainsi \(\phi(x_1) < 0\) donc \(x_1\) n’est pas solution de l’équation initiale. D’autre part, \(\phi(x_2) \in [0, \pi]\). La seule valeur possible est \(\phi(x_2) = \pi/4\). \(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\) est l’unique solution de l’équation.

Exercise 10 (Formule de Machin)

Montrer la formule

\[\begin{equation*} \frac{\pi}{4} = 4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239}) \end{equation*}\]

Solution to Exercise 10 (Formule de Machin)

On passe par les complexes

\[\begin{align*} Arg(\frac{(5+i)^4}{239+i}) &= Arg((5+i)^4(239-i)) \\ &= Arg((24+10i)^2(239-i)) \\ &= Arg((476 +480i)(239-i)) \\ &= Arg(114244 + 114244i) \\ &= Arg(1+i)\\ &= \frac{\pi}{4} \end{align*}\]

Exercise 11

Donner le nombre de solutions de \(\tan(x) + \tan(2x) +\tan(3x)+\tan(4x)=a\) dans \([0, \pi]\) selon \(a\in\R\).

Solution to Exercise 11

Les points limites sont \(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi/4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}, \frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}\). Par ailleurs, \(f(0)=f(\pi)=0\), \(f\) est strictement croissante sur chaque intervalle de définition, bref l’équation possède \(9\) solutions si \(a \neq 0\) et \(10\) si \(a=0\)

Exercise 12

Résoudre pour \(x \in [0,2\pi]\), l’équation \(\cos(3x)=\sin(2x)\).
En déduire une expression des \(\cos\) et \(\sin\) de \(\{ \frac{3\pi}{10}, \frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{5} \}\).

Solution to Exercise 12

\[\begin{align*} \cos(3x) = \sin(2x) &\Leftrightarrow \cos(3x) = \cos(\pi/2-2x) \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} 3x = \pi/2-2x \mod{2\pi} \\ 3x = 2x - \pi/2 \mod{2\pi} \end{cases} \\ &\Leftrightarrow \begin{cases} x = \pi/10 \mod{2\pi/5} \\ x = 3\pi/2 \mod{2\pi} \end{cases} \\ \end{align*}\]

Les solutions dans \([0, 2\pi]\) sont \(\frac{\pi}{10}, \frac{\pi}{2}, \frac{9\pi}{10}, \frac{13\pi}{10}, \frac{3\pi}{2}, \frac{17\pi}{10}\).
On commence par factoriser \(\cos(3x)\)

\[\begin{align*} \cos(3x) &= \Re(e^{3ix}) \\ &= \Re((\cos(x) + i\sin(x))^3) \\ &= 4\cos^3(x)-3\cos(x) \end{align*}\]

Ainsi \(x_1 = \pi/10\) et \(x_2 = 13\pi/10\) vérifient

\[\begin{align*} 4\cos^3(x)-3\cos(x) &= 2\cos(x)\sin(x)\\ 4 (1-\sin^2(x))-2\sin(x)-3 &= 0 \\ \end{align*}\]

Et de là \(X_1 = \sin(\pi/10)\) et \(X_2 = \sin(13\pi/10) = -\sin(3\pi/10)\) sont les 2 racines de \(4X^2 + 2X -1\) De là

\[\begin{align*} \sin(\pi/10) &= \frac{\sqrt{5}-1}{4}\\ \sin(3\pi/10) &= \frac{\sqrt{5}+1}{4}\\ \end{align*}\]

Et ensuite ça déroule.

Exercise 13

Montrer que \(\arctan(\frac{1}{\sqrt{x}}) = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{x+1}})\) pour \(x >0\).

Solution to Exercise 13

On passe à la tangente

\[\begin{align*} \tan(\arcsin(\frac{1}{\sqrt{x+1}})) &= \frac{\sin(\arcsin(1/\sqrt{x+1}))}{\sqrt{(1-\sin^2(\arcsin(1/\sqrt{x+1})))}}\\ &= \frac{1/\sqrt{x+1}}{\sqrt{1-1/(x+1)}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{x}} \\ &= \tan(\arctan(\frac{1}{\sqrt{x}})) \end{align*}\]

Exercise 14

Montrer que \(\frac{1}{\sh(x)} = \frac{1}{th(\frac{x}{2})} - \frac{1}{th(x)}\). En déduire une expression simple de \(\sum \limits_{k=0}^n \frac{1}{\sh(2^kx)}\).

Exercise 15

Soit \(\forall a,b,x \in \R_+^*\), \(a<b\),

\[\begin{equation*} 0 < b e^{-ax}-a e^{-bx} < b-a \end{equation*}\]

Solution to Exercise 15

\(be^{-ax} - ae^{-bx} > be^{-ax} - ae^{-ax} > 0\). De l’autre côté, on dérive \(f'(x) = ab(e^{-bx}-e^{-ax}) < 0\) donc \(f(x)<=f(0) = b-a\).

Exercise 16

Étudier la monotonie sur \(\R_+^*\), pour \(a,b\) réels, de \(\frac{\ln(1+ax)}{\ln(1+bx)}\).

Solution to Exercise 16

Sans perte de généralité, \(a<b\). On dérive deux fois.

Exercise 17

Soit \(n \in \N\). Trouver une primitive de \(\frac{1}{x \ln(x) \ln(\ln(x)) \ldots \ln^{\circ n}(x)}\).

Solution to Exercise 17

\(ln^{\circ n}(x)\) par récurrence.

Exercise 18

Calculer \(\int \limits_0^1 \frac{1}{(1+x^2)^2}dx\).

Exercise 19

Trouver une primitive de \(\frac{1}{\sqrt{-x^2+x+1}}\).

Solution to Exercise 19

\[\begin{align*} \int^t \frac{1}{\sqrt{1+x-x^2}} dx &= \int^t \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}\sqrt{-(\frac{2(x-1/2)}{\sqrt{5}})^2+1} } dx \\ &= \int^{2(u-1/2)/\sqrt{5}} \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du \\ &= \arcsin(\frac{2u-1}{\sqrt{5}}) \end{align*}\]

Exercise 20

Calculer \(I = \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin (x)) dx\). On pourra introduire \(J = \int \limits_0^{\frac{\pi}{2}} \ln (\cos (x)) dx\).

Solution to Exercise 20

Par un changement de variable évident, \(I=J\). Donc \(2I = I+J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin(2x)/2)dx = -\ln(2)\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\int_0^{\pi} \ln(\sin(x))dx = -\ln(2)\frac{\pi}{2} + I\) d’où

\[\begin{equation*} I = -\ln(2)\frac{\pi}{2} \end{equation*}\]

Exercise 21

Soit \(f : \R \rightarrow \R\), telle que le graphe de \(f\) possède deux centres de symétrie distincts. Montrer que \(f\) peut se décomposer comme somme d’une fonction affine et d’une fonction périodique.

Solution to Exercise 21

Quitte à retirer la bonne fonction affine à \(f\), on peut supposer que les deux centres de symétrie sont situés sur l’axe des \(x\), respectivement en \(a\) et en \(b\). Soit \(x \in \R\). On a

\[\begin{align*} f(x) &= f(b-(b-x)) \\ &= f(2b-x) \\ &= f(a - (a-2b + x)) \\ &= f(x + 2(a-b) ) \end{align*}\]

Donc \(f-\delta\) est \(a-b\) périodique avec \(\delta\) affine.

Exercise 22

Soit \(a>b\) des réels. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le système

\[\begin{equation*} \begin{cases} \ch(x) + \ch(y) = a \\ \sh(x) + \sh(y) =b \end{cases} \end{equation*}\]

admette au moins une solution.

Exercise 23

Soit \(f : \R \rightarrow \R\), on suppose que \(f \circ f\) est croissante et que \(f \circ f \circ f\) est strictement décroissante.

Montrer que f est strictement décroissante.

Solution to Exercise 23

\(f\circ f\) est strictement croissante, sinon \(f \circ f \circ f\) n’est pas strictement décroissante.

Soit \(a<b\), \(f(f(f(a)))< f(f(f(b)))\) donc par croissance de \(f\circ f\), \(f(a) < f(b)\).

Exercise 24

Calculer exactement \(\sin(\frac{1}{2} \arcsin(\frac{3}{4}))\).

Exercise 25 (formule de Hutton)

Montrer la formule

\[\begin{equation*} \frac{\pi}{4} = 2 \arctan(\frac{1}{3})+\arctan(\frac{1}{7}) \end{equation*}\]

Solution to Exercise 25 (formule de Hutton)

Par les complexes ou bien avec les formules de trigonométrie.

Exercices de kholles

Calculus : intégration, fonctions usuelles

Calculus : intégration, fonctions usuelles¶