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\[ \newcommand \sh {\textrm{sh}} \newcommand \ch {\textrm{ch}} \renewcommand \th {\textrm{th}} \newcommand \R {\mathbb{R}} \newcommand \C {\mathbb{C}} \newcommand \K {\mathbb{K}} \newcommand \Q {\mathbb{Q}} \newcommand \N {\mathbb{N}} \newcommand \Z {\mathbb{Z}} \newcommand \M {\mathcal{M}} \renewcommand \L {\mathcal{L}} \newcommand \B {\mathcal{B}} \newcommand \Vect {\textrm{Vect}} \renewcommand \S {\mathcal{S}} \renewcommand \P {\mathcal{P}}\]

Matrices

Exercise 347

Déterminer le centre de \(\M_n(\R)\) (les matrices qui commutent avec tout le monde).

Solution to Exercise 347

Soit \(A\) une matrice du centre. Soit \(1 \leq i,j \leq n\). \((E_{i,j}A)_{k,l} = \sum_{u=1}^n \delta_{k=i, u=j}A_{u,l} = \delta_{k=i}A_{j,l}\). Ainsi seule la ligne \(i\) de \(E_{i,j}A\) est non nulle, et est égale à la ligne \(j\) de \(A\). De même, seule la colonne \(j\) de \(AE_{i,j}\) est non nulle, et est égale à la \(i\)-ième colonne de \(A\). Ainsi \(AE_{i,j}-E_{i,j}A=0\) implique \(\forall i \neq j\), \(A_{i,j}=0\) et \(A_{i,i}=A_{j,j}\). Ainsi les seules matrices possibles sont les \(\lambda I_n\), et on vérifie qu’elles conviennent.

Exercise 348

Soit \(E=\Vect(\sin,\cos,\ch,\sh)\). Donner la matrice de l’opérateur de dérivation dans la base canonique \(\B = (\sin,\cos,\ch,\sh)\).

Solution to Exercise 348

\[\begin{equation*} begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Exercise 349

Calculer \(A^n\) pour

\[\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 349

On écrit \(A = I_3 + B\), où

\[\begin{equation*} B= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

On calcule :

\[\begin{equation*} B^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

De là,

\[\begin{align*} A^n &= \sum_{k=0}^n {n \choose k} B^k I_3^{n-k} \\ &= I_3 + nB + \frac{n(n-1)}{2}B^2 \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 2n & n(2n-1) \\ 0 & 1 & 2n \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{align*}\]

Exercise 350

Soit

\[\begin{equation*} J_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & \ldots & 1 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Calculer l’inverse de \(J_n\)

Solution to Exercise 350

C’est un cas particulier de

\[\begin{equation*} \begin{pmatrix} 1 & a & \ldots & a^{n-1} \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

avec \(a=1\), et le cas particulier se calcule facilement.

Exercise 351

Soit

\[\begin{equation*} A_n= \begin{pmatrix} 1 & a & \ldots & a^{n-1} \\ 0 & 1 & \ldots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Calculer l’inverse de \(A_n\).

Solution to Exercise 351

Notons

\[\begin{equation*} A = \begin{pmatrix} 0 & a & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & a \\ 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Alors \(A\) est \(n\)-nilpotente et \(A_n = \sum_{k=0}^{n-1} A^k\). Par analogie avec les sommes géométriques réelles, l’inverse est \(I-A\).

Exercise 352

Montrer l’équivalence

\[\begin{equation*} A \textrm{ antisymétrique } \Leftrightarrow \forall X \in \R^n, \; X^TAX = 0 \end{equation*}\]

Solution to Exercise 352

On commence par le sens retour. Avec \(X = e_i\), on obtient \(A_{i,i}=0\). Puis avec \(i \neq j\),

\[\begin{align*} 0 &= (e_i + e_j)^T A (e_i+e_j) \\ &= e_i^TAe_i + e_j^TAe_j + e_i^TAe_j + e_j^TAe_i \\ &= e_i^TAe_j + e_j^TAe_i \\ &= A_{i,j} + A_{j,i} \\ \end{align*}\]

Pour le sens aller, on a pour tout \(i,j\), \(e_i^TAe_j = 0\) donc cela reste vrai pour tout \(X\).

Exercise 353

Soit \(\phi\) l’endomorphisme de transposition de \(\M_n(\C)\). Calculer \(det(\phi)\).

Solution to Exercise 353

On peut être malin et dire que dans si \(B_1\) est une base des matrices symétriques, \(B_2\) des matrices antisymétriques, alors \(B = (B_1,B_2)\) est une base de \(\M_n(\C)\) dans laquelle \(\phi\) est diagonale, avec exactement \(|B_2|=\frac{n(n-1)}{2}\) occurrences de \(-1\). Sinon on exprime \(\phi\) dans la base canonique. C’est un matrice de permutation d’un certain \(\sigma \in S_{n^2}\), donc \(det(\phi) = \epsilon(\sigma)\). La décomposition de \(\sigma\) en produit de cycles à support disjoint est un produit de transpositions. Seuls les \((E_{i,i})\) sont stables par \(\sigma\), il y a donc \(\frac{n^2-n}{2}\) transpositions, d’où le déterminant \((-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}\).

Exercise 354

Soit \(A\) un anneau, \(n \in A\) un nilpotent. Montrer que \(e_A + n\) est inversible. En déduire que l’ensemble des matrices triangulaires supérieures avec des \(1\) sur la diagonale est stable par passage à l’inverse.

Solution to Exercise 354

On s’inspire du développement en série entière de \(\frac{1}{1+x}\) : soit \(k\) l’ordre de nilpotence de \(n\)

\[\begin{equation*} (e_A+n)(\sum_{i=0}^{k-1} (-n)^i) = e_A + n^k = e_A \end{equation*}\]

Exercise 355

Soit \(\Delta = Diag(a_1, \ldots, a_n) \in \M_n(\R)\). Soit \(M \in \M_n(\R)\). Calculer \(\Delta M - M\Delta\).

Solution to Exercise 355

\[\begin{align*} (\Delta M - M\Delta)_{l,k} &= (a_l-a_k)M_{l,k} \\ \end{align*}\]

Exercise 356

Soit \(x,\theta \in \R\). Calculer les puissances de la matrice

\[\begin{equation*} \begin{pmatrix} x+\sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \cos(\theta) & x - \sin(\theta) \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Solution to Exercise 356

On note

\[\begin{equation*} M_{\theta} = \begin{pmatrix} \sin(\theta) & \cos(\theta) \\ \cos(\theta) & -\sin(\theta) \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Calculons ses puissances :

\[\begin{equation*} M_{\theta}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Ainsi

\[\begin{align*} M^m &= (xI_n + M_{\theta})^m \\ &= \sum_{k=0}^m {m \choose k} x^{m-k}M_{\theta}^{k} \\ &= (\sum_{k=0}^m {m \choose 2k} x^{m-2k})I_n + (\sum_{k=0}^{m}{m \choose 2k+1} x^{m-2k-1})M_{\theta} \end{align*}\]

On doit pouvoir mettre en forme en regardant \(S_1 = \sum_{k=0}^{m}{m \choose 2k} x^{2k}\) et \(S_2 = \sum_{k=0}^{m}{m \choose 2k+1} x^{2k+1}\). On a

\[\begin{equation*} \begin{cases} S_1+S_2 &= (1+x)^k \\ S_1-S_2 &= (1-x)^k \end{cases} \end{equation*}\]

D’où \(S_1 = \frac{(1+x)^k+(1-x)^k}{2}\) et \(S_2 = \frac{(1+x)^k-(1-x)^k}{2}\). En regardant la parité de \(m\) cela permet d’écrire une forme un peu plus compacte.

Exercise 357

Résoudre dans \(\M_n(\R)\) l’équation

\[\begin{equation*} X+X^T = tr(X)A \end{equation*}\]

Solution to Exercise 357

On passe à la trace qui amène l’équation \(2tr(X)=tr(X)tr(A)\). Si \(tr(X)=0\), on est conduit \(X\) antisymétrique et on vérifie que cela fonctionne. Sinon, si \(tr(A)\neq 2\), il n’y a pas de solution. Sinon, si \(A\) n’est pas symétrique il n’y a pas de solution. Sinon, l’équation se traduit sur les coefficients de \(X\) : pour un certain \(\lambda \in \R\) (ce sera la trace de \(X\)), \(\forall i,j, \; x_{i,j} + x_{j,i} = \lambda a_{i,j}\). On vérifie que le respect de ces conditions satisfait l’équation générale.

Exercise 358

Soit \(A \in \M_n(\C)\) à diagonale dominante, i.e. \(\forall i, \; |a_{i,i}| > \sum_{j \neq i} |a_{i,j}|\). Montrer que \(A\) est inversible.

Solution to Exercise 358

Il suffit de montrer que \(A\) est injective. Or il vient très naturellement (écrire le système) que \(AX=0 \Leftrightarrow X=0\).

Exercise 359

Déterminer les réels \(\lambda\) tels qu’il existe une matrice non nulle \(A\in \M_n(\R)\) vérifiant \(A^T = \lambda A\).

Solution to Exercise 359

En transposant l’équation on obtient la condition \(\lambda^2 = 1\). On vérifie que \(\lambda=1\) et \(\lambda=-1\) conviennent (matrices symétriques et antisymétriques).

Exercise 360

Soit \(M \in \M_n(\R)\), calculer \(JMJ\) où \(J\) est la matrice dont tous les cooefficients sont égaux à \(1\).

Solution to Exercise 360

\[\begin{equation*} (\sum_{i,j} m_{i,j}) J \end{equation*}\]

Exercise 361

Soit \(A \in \M_n(\R)\) telle que \(A^n=0\) et \(A^{n-1}\neq 0\). Soit \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \(A\). Montrer qu’il existe \(x_0\) tel que \(\mathcal{B}(x_0) =(u^{n-1}(x_0), \ldots, u(x_0), x_0)\) soit une base de \(\R_n\). Quelle est la matrice de \(u\) dans cette base ?

Solution to Exercise 361

\(x_0\) tel que \(A^{n-1}X_0 \neq 0\) convient et existe par hypothèse.

\[\begin{equation*} mat_{\mathcal{B}(x_0)}(u) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \ldots \\ 0 & 0 & \ddots & \ddots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 \\ 0 & \ldots & \ldots & 0 \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

Exercise 362

Déterminer le sous-espace de \(\M_n(\R)\) engendré par \(GL_n(\R)\).

Solution to Exercise 362

Il s’agit de \(\M_n(\R)\), en remarquant par exemple que \(I_n + E_{i,j}\) est inversible.

Exercise 363

Soit \(M \in \R^n\) matrice définie par

\[\begin{equation*} \begin{cases} M_{i,j} = {j-1 \choose i-1} \; \textrm{si } i \leq j \\ M_{i,j} = 0 \; \textrm{sinon} \end{cases} \end{equation*}\]

Soit \(u\) l’endomorphisme de \(\R_n[X]\) canoniquement associé. Calculer \(u(P)\) pour tout \(P\). En déduire que \(M\) est inversible et calculer son inverse. Montrer que \(M^{-1} = \Delta M \Delta\) pour un certain \(\Delta\) diagonale.

Solution to Exercise 363

On calcule \(u(X^k)\) pour \(k \leq n\).

\[\begin{equation*} u(X^k) = \sum_{i=1}^k {k-1 \choose i-1} X^i = (X+1)^k \end{equation*}\]

D’où \(u : P(X) \mapsto P(X+1)\). \(u\) est donc inversible, d’inverse \(u^{-1} : P(X) \mapsto P(X-1)\) et l’inverse de \(M\) est définie par

\[\begin{equation*} \begin{cases} M^{-1}_{i,j} = (-1)^{(i-1)(j-1)} {j-1 \choose i-1} \; \textrm{si } i \leq j \\ M^{-1}_{i,j} = 0 \; \textrm{sinon} \end{cases} \end{equation*}\]

On calcule pour

\[\begin{equation*} \Delta = \begin{pmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & \vdots & 0 \\ 0 & 0 & d_n \\ \end{pmatrix} \end{equation*}\]

\((\Delta M \Delta)_{i,j} = d_i d_j M_{i,j}\). Ainsi \(d_k = (-1)^{k-1}\) donne la bonne matrice diagonale.

Exercise 364

Montrer que toute matrice \(M\) de \(\M_n(\R)\) admet un polynôme annulateur. Montrer que si \(A \in \M_n(\R)\) est inversible, alors \(A^{-1}\) est un polynôme en \(A\).

Solution to Exercise 364

\(M^0, M^1, \ldots, M^{n^2}\) est liée. Si \(P(A)=0\) on écrit \(P=X^k\times Q\) avec \(Q \land X=1\). D’où l’existence de \(U, V\) tels que \(U(X)Q(X)+XV(X)=1\). Or par inversibilité de \(A^k\), \(Ker(Q(A))=Ker(Q(A)A^k)=\R^n\) donc \(Q(A)=0\). De là \(AV(A)=I_n\).

Exercise 365

Montrer que tout hyperplan \(H\) de \(\M_n(\R)\) (\(n \geq 2\)) contient une matrice inversible.

Solution to Exercise 365

On écrit \(f(A)=\sum_{i,j} \alpha_{i,j}A_{i,j}\) telle que \(H=Ker(f)\). S’il existe un coefficient \(\alpha_{i,j}\) en dehors de la diagonale, non nul, on prend \(M=I+\alpha E_{i,j}\) avec \(\alpha\) bien choisi pour que \(M\in H\). Sinon on trouve une matrice inversible avec des \(0\) sur sa diagonale, elle est dans \(H\).

Exercise 366

Soit \(A \in M_n(\R)\) non inversible. Montrer qu’il existe une matrice \(B\) telle que \(\forall \lambda \in \R^*\), \(A+\lambda B\) est inversible.

Solution to Exercise 366

Par équivalence en passant par \(J_r\) on se ramène à \(A\) triangulaire stricte. \(B=I_n\) convient alors.

Exercise 367

Montrer que toute matrice nilpotente est de trace nulle.

Solution to Exercise 367

On montre par récurrence qu’elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte. Le noyau est non trivial donc on peut choisir une base de sorte que la première colonne soit nulle. Puis si \(N\) est la matrice de taille \(n-1\), en bas à droite, un calcul par bloc montre que \(N\) est nilpotente.

Exercise 368

Soit \(A \in \M_n(\R)\). Montrer que pour \(r>0\) suffisamment petit, \(A+rI\) est inversible.

Solution to Exercise 368

\(det(A+rI)\) est un polynôme en \(r\), non nul d’après l’exercice des matrices à diagonales dominantes, donc ne s’annule pas sur une voisinage de \(0\), \(0\) exclu.

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