Nombres complexes
Nombres complexes¶
Exercise 54
Voir les exercices de Gery Huvent 47, 49, 52, 53, 60, 72, 89 (théorème de Napoléon).
Exercise 55
Résoudre l’équation \(z^3 + (i-2)z^2 +(3-3i)z + 2i-2 = 0\) sachant qu’elle admet une solution réelle.
Solution to Exercise 55
Soit \(x\) une telle racine réelle. Soit \(P(X) = X^3 + (i-2)X^2 + (3-3i)X + 2i -2\). On a donc \(P(x)= \overline{P(x)} = 0\). \(x\) étant réel, l’équation précédente amène
On vérifie rapidement que \(P(1) = 0\). On obtient ainsi la factorisation \(P(X) = (X-1)(X^2 + (i-1)X + 2 - 2i)\) et on trouve les racines restantes par une étude classique des polynômes du second degré.
Exercise 56
Résoudre l’équation \(z^n = \overline{z}\).
Solution to Exercise 56
\(z=0\) convient. On étudie maintenant les solutions dans \(\mathbb{C} \setminus \{0\}\). L’équation est alors équivalente à \(z^{n+1} = |z|^2\).
si n=1, l’équation est équivalente à \(z^2 \in \mathbb{R}^+\) soit \(z \in \mathbb{R}\).
sinon, \(|z|=1\) est nécessaire. On trouve les racines \(n+1\)-ièmes de l’unité.
Exercise 57
Soit \(u\), \(v\), \(w\) \(\in \mathbb{U}\), tels que \(u+v+w=0\). Montrer que \(u=jv=j^2w\) ou bien \(u=jw=j^2v\).
Solution to Exercise 57
Quitte à multiplier par \(\overline{u}\) il suffit de montrer que si \(v,w \in \mathbb{U}\) vérifient \(1+v+w=0\), alors \(\{v,w \} = \{j,j^2\}\). En passant à la partie imaginaire dans l’équation précédente, il vient que \(v\) et \(w\) sont de partie imaginaire opposée et donc de partie réelle de même modèle module. En passant à la partie réelle dans l’équation il vient alors que leur partie réelle commune est \(-\frac{1}{2}\). Le résultat souhaité est alors immédiat.
Exercise 58
Soit \(N \in \N\). On dit que \(N\) est somme de deux carrés s’il existe \(a,b \in \N, \; a^2+b^2=N\). Montrer que si \(N\) est somme de deux carrés, alors pour tout \(p \in \N\), \(N^p\) est somme de deux carrés.
Solution to Exercise 58
On montre que l’ensemble des sommes de deux carrés est stable par produit. Cela est immédiat en remarquant que \(a^2+b^2 = |a+ib|^2 = z\overline{z}\) avec \(z = a+ib\) puis en voyant que \(z_1 \overline{z_1} z_2 \overline{z_2} = z_1z_2 \overline{z_1z_2}\).
Exercise 59
Soit \(z \in \mathbb{U}\) tel que \(|1-z|<1\). Montrer que \(|1+z^2| \geq 1\).
Solution to Exercise 59
On peut écrire \(z=e^{i\theta}\) avec \(-\frac{\pi}{3} \leq \theta \leq \frac{\pi}{3}\). Alors \(2\theta \in [-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}]\) d’où le résultat. INSERT IMAGE HERE
Exercise 60
Soit \(P= \{ z \in \mathbb{C}, \; \mathfrak{Im}(z) > 0 \}\) et \(D= \{ z \in \mathbb{C}, \; |z| < 1\}\).
Soit \(z \in P\). Montrer que \(\frac{z-i}{z+i} \in D\).
Soit \(z \neq -i\) tel que \(\frac{z-i}{z+i} \in D\). Montrer que \(z \in P\).
Montrer que l’application
est une bijection et calculer sa réciproque.
Solution to Exercise 60
Le résultat est immédiat après écriture de \(z=a+ib\) car \(\left | \frac{z-i}{z+i} \right | = \frac{a^2+(b-1)^2}{a^2+(b+1)^2}\).
\(a^2+(b-1)^2<a^2+(b+1)^2 \leftrightarrow b>0\).
\(u=\frac{z-i}{z+i} \; \text{et} \; u \neq 1 \; \text{et} \; z \neq -i \leftrightarrow z=i\frac{1+u}{1-u}\)
Exercise 61
Trouver le plus grand \(\alpha\) tel que
Indication
On pourra séparer les cas où \(z\) est une racine de l’unité.
Solution to Exercise 61
Avec \(z=j\), on a la majoration \(\alpha \leq \sqrt{3}\). On montre que \(\sqrt{3}\) convient. Soit \(z \in \mathbb{U} \setminus \{1\}\), et \(\theta \in ]0; 1[\) tel que \(2 \pi \theta\) soit son argument.
si \(\theta\) est irrationnel, on peut montrer que \(\{ z^n, n \in \mathbb{N} \}\) est dense dans \(\mathbb{U}\).
Pour tout \(n \in \N^*\) on note \(\Theta_n = \{\alpha \; | \; z_n = e^{i\alpha} \}\), et \(\Theta = \cup_n \Theta_n\). Clairement \(\Theta\) est un sous-groupe de \((\R, +)\), donc soit dense dans \(\R\), soit isomorphe à \(\eta\Z\). Par irrationnalité de \(\theta\), \(\Theta\) est dense dans \(\R\), ce qui conclut.
En particulier \(\sup_{n \in \N} |z^n -1| = 2\) donc il existe \(n \in \N\) tel que \(|z^n -1| \geq \sqrt{3}\)sinon, \(z\) est une racine de l’unité et est donc générateur de \(\mathbb{U}_m\) avec \(m \geq 2\) car \(z \neq 1\). Avec l’étude précédente de \(j\), il suffit de vérifier que
Ce résultat est vrai pour \(n=2\), et tient nécessairement pour \(n \geq 3\) pour assurer \(\frac{2\pi}{n} \leq \frac{2\pi}{3}\) où \(\frac{2\pi}{3}\) est l’ouverture angulaire de la zone \(\{\mathcal{R}e(z) \leq -\frac{1}{2} , z \in \mathbb{U} \} \).
Exercise 62
Soit \(z_1, \ldots, z_n\) des complexes de modules inférieurs ou égaux à 1. Montrer qu’il existe \(\varepsilon_1, \ldots, \varepsilon_n \in \{ -1, 1\}\) tels que \(|\varepsilon_1 z_1 + \ldots + \varepsilon_n z_n | \leq \sqrt{2}\).
Solution to Exercise 62
On raisonne par récurrence. Lorsque \(n=2\), on écrit
Pour \(n=3\), les complexes \(\pm z_1, \pm z_2, \pm z_3\) forment les sommets d’un hexagone (non croisé quitte à permuter les \(z_i\)). Un des angles au centre est donc inférieur à \(\frac{\pi}{3}\). Le demi-côté correspondant est donc de longueure inférieure à \(\sin(\pi/6)=1/2\) ce qui fournit \(z_i, \varepsilon_j, z_j\) tels que \(|z_i + \varepsilon_jz_j| \leq 1\). Cela permet de faire la récurrence.
Exercise 63
Soit \(z_1, \ldots, z_n \in \C\). Montrer que
Solution to Exercise 63
Croissance de \(x \mapsto \frac{x}{1+x}\) et récurrence.
Exercise 64
Soit \(u,v \in \C\) et \(z= u + iv\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(|z|^2 = u^2 + v^2\).
Solution to Exercise 64
L’identité suivante est toujours vérifiée
La conditon se réécrit donc
Si \(z \neq 0\), cela implique \((u-\bar{u}) = i(v-\bar{v})\). Or le terme de gauche est un réel, et le terme de droite un imaginaire pure. Cela amène ainsi \(u,v \in \R\). Bref la condition recherchée est \(z=0\) ou \(u,v \in \R\).
Exercise 65
Calculer \(\sum_{k=0}^{n-1} (1+w^k)^n\) où \(w\) est une racine primitive \(n\)-ième de l’unité.
Solution to Exercise 65
On écrit pour \(w\neq 1\)